专题4.1 阅读材料与新定义（解析版）-2021-2022学年八年级数学下册单元题型精练（基础题型强化题型）（北师大版）

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专题 4.1 阅读材料与新定义
1．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如， 是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到
，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如 、 是多项式的乘法公式；把这些公式反过
来，得到 、 ，这是运用公式法把多项式因式分
解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
；
乙：
（分成两组）
（运用公式）
．
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解．
问题一：因式分解：
（1） ；
（2） ．
问题二：探究
对 、 定义一种新运算 ，规定： ， （其中 ， 均为非零常
数）．当 时， ， ， 对任意有理数 、 都成立，试探究 ， 的数
量关系．
【解答】解：问题一：（1）
；
（2）
；
问题二： ， ，
， ，
又 ， ， ，
，
，
，
．
2．教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全平方式”，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出
现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些
与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式
例如．求代数式 的最小值．
原式
．
可知当 时， 有最小值，最小值是 ．
（1）分解因式： 　 　．
（2）试说明： 、 取任何实数时，多项式 的值总为正数．
（3）当 ， 为何值时，多项式 有最小值，并求出这个最小
值．
【解答】解：（1）
；
（2）多项式 的值总为正数，理由：
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