专题4.1 因式分解-提取公因式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.1 因式分解-提取公因式（知识讲解）
【学习目标】
1、了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多
项式分解因式.
特别说明：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，
因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整
式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.
② 字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因
式
m
，另一个因式是 ，即 ，而 正好
是 除以
m
所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变
为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公
因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是 0 而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________.
①(x＋5) (x－5) ＝x2－25　② x2－9＝(x＋3) (x－3) 　③ x2＋2x－3＝(x＋3) (x－1) 　
④9x2－6x＋1＝3x(3x－2) ＋1　⑤ x＋1＝x(1＋) 　⑥ 3xn
＋
2＋27xn＝3xn(x2＋9)
【答案】②③⑥
解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解
的定义可得②③⑥属于因式分解.
举一反三：
【变式 1】 判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分
解．
(1) a2－9b2＝(a＋3b) (a－3b) ； (2) 3y(x＋2y) ＝3xy＋6y2；
(3) (3a－1) 2＝9a2－6a＋1； (4) 4y2＋12y＋9＝(2y＋3) 2；
(5) x2＋x＝x2(1+ ) ； (6) x2－y2＋4y－4＝(x－y) (x＋y) ＋4(y－1) ．
【答案】(2) (3) 是整式乘法，(1) (4) 是因式分解．
【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.
解：(1) (4) 的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2) (3) 是整式乘法；
(5) 虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋) 不是整式，不是因式分解；(6) 运用乘
法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．
(2) (3) 是整式乘法，(1) (4) 是因式分解．
【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【变式 2】 下列变形中正确的因式分解有（ ）个．
① ②
③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义去判断即可．
解：根据因式分解的定义可知：
①是将一个多项式化成几个整式的积的形式，属于因式分解；
②是整式的乘法，不是因式分解；
③不是将一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解；
④不能进行因式分解，则④中的变形不属于因式分解；
所以是因式分解的是①．
故选 A．
【点拨】本题考查了因式分解的定义即把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，
即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，
也叫作把这个多项式分解因式，准确理解定义是解题的关键．
类型二、已知分解因式的结果求参数
2、若 2x2+mx 1﹣能分解为（2x+1）（x1﹣），求 m的值．
【答案】m= 1﹣
【分析】先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则得到的结果为： ，利用
多项式相等的条件即可求出 m的值．
解：∵ ，
∴ ，
则： ．
【点拨】题目主要考查因式分解的定义、多项式与多项式相乘及多项式相等的条件，
读懂题意及准确掌握多项式相等的条件是解题关键．
举一反三：
【变式 1】 已知多项式 因式分解后有一个因式为 ，求 的值．
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