专题4 立体几何-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

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立体几何
★★★★★★期末导航★★★★★★
★★★★★★知识回顾★★★★★★
一、空间几何体的结构特征
1．多面体及其结构特征
(1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行
四边形的公共边互相平行．
(2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台：①上、下底面互相平行，且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点．
2．旋转体及其结构特征
(1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形；③圆柱的所有母线相互平行且
相等，且都与圆柱的轴平行；④圆柱的母线垂直于底面．
(2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰三角形；③圆锥的顶点与底面圆
周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线有无数条；④圆锥的底面是一个圆面．
(3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；②圆台两底面圆所在平面互相平行
且和轴垂直；③圆台有无数条母线；④圆台的母线延长线交于一点．
二、空间几何体的直观图
1．斜二测画法中“斜”和“二测”
“斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x轴垂直的线段，在直观图中均与 x′轴成 45°或
135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x′轴或 z′轴的线段长度不变；平行于 y′
轴的线段长度变为原来的一半．
2．斜二测画法中的建系原则
在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建
立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原
点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．
三、空间几何体的表面积和体积
1．多面体的表面积
各个面的面积之和，也就是展开图的面积．
2．旋转体的表面积
圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
圆台：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．
球：S＝4πR2.
3．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体的体积公式：
V柱体＝Sh(S底面面积，h为高)．
(2)锥体的体积公式 V锥体＝Sh(S底面面积，h为高)．
(3)台体的体积公式
V台体＝(S＋＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)．
(4)球的体积公式 V＝πR3.
四、空间点、线、面之间的位置关系
1．平面的基本性质
四个基本事实及其作用
基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．
基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
作用：可用来证明点、直线在平面内．
基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
直线．
作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．
基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行．
作用：判断空间两条直线平行的依据．
2．空间中两直线的位置关系
空间中两直线的位置关系
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
五、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线
平行⇒线面平行)．
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直
线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)．
2．平面与平面平行
(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为
“线面平行⇒面面平行”)．
(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
六、直线、平面垂直的判定及其性质
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线 l与平面 α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l与平面 α互相垂直．
(2)异面直线所成的角：
定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间中任一点 O作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与b′所成
的锐角(或直角)叫做异面直线 a与b所成的角(或夹角)．
(3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
2．平面与平面垂直
(1)平面和平面垂直的定义：
两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直．
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．
(3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
★★★★★★掌握题型★★★★★★
考点一 几何体的表面积与体积
【例 1】如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和
体积.
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