专题04 巧求二次函数解析式-2021-2022学年九年级数学下册高频考点提分精练（苏科版）（解析版）

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专题 04 巧求二次函数解析式
一．一般式（共 2小题）
1．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3 过点 A（1，0）和 B（2，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
答案详解:（1）把点 A（1，0）和 B（2，﹣1）代入 y＝ax2+bx+3 中，
得：
{
0=a+b+3
−1=4a+2b+3
，
解得：
{
a=1
b=−4
，
∴抛物线的解析式为 y＝x24﹣x+3；
（2）∵y＝x24﹣x+3＝（x2﹣）21﹣，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），
对称轴为直线 x＝2．
2．抛物线 y＝ax2+bx+c过（0，4），（1，3），（﹣1，4）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣1＜x＜4时，求 y的取值范围．
答案详解:（1）将（0，4），（1，3），（﹣1，4）代入 y＝ax2+bx+c得：
{
4=c
3=a+b+c
4=a−b+c
，
解得
{
a=−1
2
b=−1
2
c=4
，
∴y
¿−1
2
x2
−1
2
x+4．
（2）∵y
¿−1
2
（x
）2
+33
8
，
∴x
＞−1
2
时，y随x增大而减小，
x
¿−1
2
时y取最大值
33
8
，
x＝4时y取最小值，
把x＝4代入 y
¿−1
2
x2
−1
2
x+4 得y
¿−1
2
×
42
−1
2
×
4+4＝﹣6．
∴﹣6＜y
≤33
8
．
二．交点式（共 2小题）
3．二次函数 y＝ax2+bx+c的图象经过点 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．当 x＝4时，y＝　 3
．
答案详解:设抛物线的解析式为 y＝a（x1﹣）（x3﹣），把 C（0，3）代入得到 a＝1，
∴抛物线的解析式为 y＝（x1﹣）（x3﹣），即 y＝x24﹣x+3，
当x＝4时，y＝16 16+3﹣＝3，
故答案为 3．
4．抛物线 y＝x2+bx+c，经过 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，则这条抛物线的解析式为　 y ＝ x 2
2﹣ x
3﹣ 　 ，它的对称轴为　 x ＝ 1 　 ．
答案详解:抛物线的解析式为 y＝（x+1）（x3﹣），即 y＝x22﹣x3﹣，
抛物线的对称轴为直线 x
¿−−2
2×1=¿
1．
故答案为 y＝x22﹣x3﹣，直线 x＝1．
三．顶点式（共 4小题）
5．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式
为（　　）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）24﹣
C．y＝﹣2（x2﹣）2+4 D．y＝2（x2﹣）24﹣
答案详解:设抛物线的表达式为 y＝a（x﹣h）2+k，
则抛物线表达式为 y＝a（x2﹣）2+4，
将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0 2﹣）2+4，解得 a＝﹣2，
故抛物线的表达式为 y＝﹣2（x2﹣）2+4．
故选：C．
6．顶点为（3，1），形状与函数 y
¿1
3
x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为　 y
¿−1
3
x 2
+2 x 2﹣ 　 ．
答案详解:设抛物线解析式为 y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数 y
¿1
3
x2的图象相同且开口方向相反，
∴a
¿−1
3
，
把a
¿−1
3
，顶点（3，1）代入得：
y
¿−1
3
（x3﹣）2+1
¿−1
3
x2+2x2﹣，
故答案为：y
¿−1
3
x2+2x2﹣．
7．已知一个二次函数的图象形状与抛物线 y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数
的解析式为　 y ＝ 4 （ x 2﹣ ） 2
+3
或
y ＝﹣ 4 （ x 2﹣ ） 2
+3 　 ．
答案详解:图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是 y＝a（x2﹣）2+3，
又∵形状与抛物线 y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x2﹣）2+3 或y＝﹣4（x2﹣）2+3，
故答案为：y＝4（x2﹣）2+3 或y＝﹣4（x2﹣）2+3．
8．已知二次函数的顶点坐标为 A（1，﹣4），且经过点 B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点 C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
答案详解:（1）设二次函数的解析式是 y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的顶点坐标为 A（1，﹣4），
∴y＝a（x1﹣）24﹣，
∵经过点 B（3，0），
∴代入得：0＝a（3 1﹣）24﹣，
解得：a＝1，
∴y＝（x1﹣）24﹣，
即二次函数的解析式为 y＝x22﹣x3﹣；
（2）点 C（2，﹣3）在该函数图象上，
理由是：把 C（2，﹣3）代入 y＝x22﹣x3﹣得：左边＝﹣3，右边＝443﹣ ﹣ ＝﹣3，
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