专题04 平行线中的分类讨论（解析版）--2021-2022学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题 04 平行线中的分类讨论

最基础最核心

1．已知，AB∥CD．点 M在AB 上，点 N在CD 上．

如图 1中，∠BME、∠E、∠END 的数量关系为：　；（不需要证明）

如图 2中，∠BMF、∠F、∠FND 的数量关系为：　；（不需要证明）

解：（1）过 E作EH∥AB，如图 1，

∴∠BME＝∠MEH，

∵AB∥CD，

∴HE∥CD，

∴∠END＝∠HEN，

∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，

即∠BME＝∠MEN﹣∠END．

如图 2，过 F作FH∥AB，

∴∠BMF＝∠MFK，

∵AB∥CD，

∴FH∥CD，

∴∠FND＝∠KFN，

∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，

即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．

故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．

2．已知直线，点 P为直线、所确定的平面内的一点．

（1）如图 1，直接写出、、之间的数量关系；

（2）如图 2，写出、、之间的数量关系，并证明；

解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°

如图 1所示，过点 P作PQ∥AB，

∴∠A+∠APQ=180°，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C+∠CPQ=180°，

∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；

（2）∠APC=∠A+∠C，

如图 2，作 PQ∥AB，

∴∠A=∠APQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C=∠CPQ，

∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，

∴∠APC=∠A-∠C；

3．直线 AB、CD 为平面内两条直线，点 M、点 N分别在直线 AB、CD 上，点 P（P不在直线 AB、CD 上）为

平面内一动点．

（1）如图 1，若 AB、CD 相交于点 O，∠MON＝40°；

①当点 P在△OMN 内部时，求证：∠MPN－∠OMP－∠ONP＝40°；

②小芳发现，当点 P在∠MON 内部运动时，∠MPN、∠OMP、∠ONP 还存在其它数量关系，这种数量关

系是；

③探究，当点 P在∠MON 外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP 之间的数量关系共有种；

（2）如图 2，若 AB//CD，请直接写出∠MPN 与∠AMP、∠CNP 之间存在的所有数量关系是．

【答案】（1）①证明过程见解析；②∠MPN+∠OMP+∠ONP=320°；③ 5；（2）∠AMP=∠MPN+∠CNP 或

∠CNP=∠MPN+∠AMP 或∠AMP+∠CNP+MPN=360°

【分析】

（1）①延长 OP 至点 E，利用三角形的外角性质和整体思想求证；

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