专题04 利用导数研究函数有解问题（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 04 利用导数研究函数有解问题

【考点预测】

1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等

式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值

就可以解决问题．

一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需

。

2.直接讨论法

直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点

直接讨论，从而求得参数的取值情况.其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法 ;若无法求得极值时，

常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数），

为导函数．

（1）当时，其曲线在点处的切线方程；

（2）若时，都有解，求的取值范围；

（3）若，试证明：对任意恒成立.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

【详解】

试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；2.分离常数，将问题转化为求函数的值域问题；

（3）先利用，求出值，作差构造函数，将不等式恒成立进行等价转化，利用导数求其最值.

试题解析：（1）由得 , ,..1 分

所以曲线 y= 在点（1, ）处的切线斜率为 ,

,曲线 y= 切线方程为；

即. 4 分

（2）由得，令 ,

, ,

所以在（0,1]上单调递减,又当 x趋向于 0时，趋向于正无穷大，故

即； 7分

（3）由，得 , ..8 分

令, 所以，

因此,对任意 ,等价于，

由, .得，

因此,当时, , 单调递增;时, , 单调递减

所以的最大值为 ,故， 10 分

设,

,所以时 ,单调递增, ,

故时, ,即， 12 分

所以 .

因此,对任意 ,恒成立． 13 分

考点：1.导数的几何意义；2.函数的的最值与值域；不等式恒成立问题.

例2．（2022·重庆长寿·高三期末）已知函数，．

(1)若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间；

(2)若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取

值范围，若不存在，说明理由．

【答案】(1) ，，单调递增为，单调递减为

(2)存在，的取值范围是

【解析】

【分析】

（1）求导，利用导数的几何意义以及切点在曲线上列式计算即可得、的值，再令可得单调

区间；

（2）先求出函数和的单调性，再根据可得实数的取值范围.

(1)

，依题意，

，得 m＝－1，n＝2，

∴ ，令，得－2＜x＜1，

又函数的定义域是，

∴函数的单调递增为，单调递减为．

(2)

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