专题04 函数的应用（知识点串讲）解析版-2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（人教A版）（串讲篇）

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专题 04 函数的应用（知识点串讲）
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重难点突破
知识点一 二分法求函数零点的近似值
1、 二分 法的概念
对于在区间
[a ,b ]
上连续不断且 的函数
y=f(x)
，通过不断地函数
f(x)
的零点所在的
区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零
点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2、用二分法求函数
f(x)
零点近似值的步骤（给定精确度
ε
）
（1）确定区间
[a ,b ]
，使 。
（2）求区间
(a , b )
的中点，
。
（3）计算
f(x1)
① 若
f(x1)=0
，则
② 若
f(a)f(x1)<0
，则令
b=x1
（此时零点
x0∈
）；
③ 若
f(x1)f(b)<0
则令
a=x1
（此时零点
x0∈
） ；
（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总 位于区间 上，当 和
bn
按照给定精
度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数
y=f(x)
的近似零点，计算终止。这时函数
y=f(x)
的近似零点满足给定的精确度。
例1．若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【答案】A
【解析】由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因为 a<b<c，所以 f(a)＝(a－b)(a－
c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.由零点存在性定理得函数 f(x)的两个零点分别位于区间
(a，b)和(b，c)内．
【变式训练 1-1】、(2020·安庆模拟)函数 f(x)＝x2－ax＋1在区间
(
1
2，3
)
上有零点，则实数 a的取值范围是(
)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C.
[
2，5
2
]
D.
[2，10
3)
【答案】D
【解析】由题意知方程 ax＝x2＋1在
(
1
2，3
)
上有解，即 a＝x＋在
(
1
2，3
)
上有解，设 t＝x＋，x∈
(
1
2，3
)
，
则t的取值范围是
[2，10
3)
.∴实数 a的取值范围是
[2，10
3)
.
【变式训练 1-2】、(2020·佳木斯摸底)已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】由表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，
(4,5)上均至少有一个零点，所以函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 3个．
【变式训练 1-3】、(2020·湖南娄底二模)若函数 f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a的取值范
围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
【答案】C
【解析】因为函数 f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，
则有 f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即 a(a－3)<0，解得 0<a<3.
知识点二 函数的零点与方程的根
1.对于函数
y=f
(
x
)
,我们把使
f
(
x
)
=0
的实数 x叫做函数
y=f
(
x
)
的 .
2 .函数
y=f
(
x
)
的零点就是方程
f
(
x
)
=0
的 ， 也就是函数
y=f
(
x
)
的图像与 x轴的交点的
.
3 .方程
f
(
x
)
=0
有实根
⇔
函数
y=f
(
x
)
的图像与 x轴有
⇔
函数
y=f
(
x
)
有 .
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函 数
y=f
(
x
)
在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
f
(
a
)
f
(
b
)
0，那 么
y=f
(
x
)
在
区间（a,b）内有零点，即存在
c∈
(
a , b
)
，使得
f
(
c
)
0，这个 c就是方程
f
(
x
)
=0
的根.
例2、函数 f(x)＝2x＋x3－2在区间(0, 1)内零点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】
【解析】　方法一(通法)　函数 f(x)＝2x＋x3－2在区间(0, 1)内零点的个数即为 y1＝2x－2与y2＝－x3的图象
在区间(0, 1)内的交点个数. 作图可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除 C、D项；当 x＝0时，y1＝－1
＜ y2＝0，当 x＝1时，y1＝0＞ y2＝－1，因此在区间(0, 1)内一定会有一个交点，所以 A项错误．
方法二(优美解)　因为 f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1 )＝2＋13－2＝1，故 f(0)·f(1)＜0，又函数 f(x)在(0, 1)内
单调，故 f(x)在区间 (0, 1)内零点的个数是 1．
【变式训练 2-1】、设f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【答案】B
【解析】B　∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，
∵函数 f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，∴f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
【 变 式 训 练 2-2 】 、 （ 成 都 市 2019-2020 学 年 高 一 上 学 期 期 末 调 研 考 试 ） 一 直 到 关 于 的 方 程
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