专题04 函数的单调性（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇，人教A版2019必修第一册）

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专题 04 函数的单调性
知识点一　函数的单调性
1.增函数和减函数
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2时，都有
f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D上单调递增．区间 D
称为函数 f(x)的单调递增区间
那么就称函数 f(x)在区间 D上单调递减．
区间 D称为函数 f(x)的单调递减区间
增函数 减函数
图象
特征 函数 f(x)在区间 D上的图象是_____的 函数 f(x)在区间 D上的图象是_____的
图示
2.单调性与单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调
性，区间 D叫做 y＝f(x)的单调区间．
【思考】
若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b满足什么关系，如果函数 f(x)是减函数呢？
【提示】
若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那
么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性． (　　)
(2)因为 f(－1)＜f(2)，所以函数 f(x)在[－1,2]上单调递增． (　　)
(3)若f(x)是R上的减函数，则 f(－3)>f(2)．(　　)
(4)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数 f(x)在区间(1,3)上也单调递增． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）√（4）×
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 (　　)
A．[－4,4]
B．[－4，－3] [1,4]∪
C．[－3,1]
D．[－3,4]
【答案】C
【解析】由图可知，函数 的单调递减区间为 .
3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是 (　　)
A．y＝－　　　　　　B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x
【答案】D
【解析】选项 A、B、C中的函数在(0，＋∞)上都是增函数，选项 D满足条件．
4．函数 f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．
【答案】
5．若 y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则 k的取值范围为________，b的取值范围为________．
【答案】 R
题型一　判断（证明）函数的单调性
【学透用活】
用定义法判断函数的单调性的关键是变形，常用的变形技巧有：①因式分解：当原来的函数是多项式
函数时，通常作差后进行因式分解；②通分：当原来的函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对
分子、分母进行因式分解；③配方：当原来的函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
④分母有理化：当原来的函数是根式函数时，作差后往往考虑分母有理化．
【例 1】已知函数 f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数 f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
【解析】(1)由x2－1≠0得x≠±1，
故函数 f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}．
(2)函数 f(x)在(1，＋∞)上为减函数，理由如下：
∀x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为 x－1＞0，x－1＞0，x2＋x1＞0，x2－x1＞0，
所以 f(x1)＞f(x2)，故函数 f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
【方法技巧】
利用定义证明函数单调性的 4个步骤
【变式训练】
1．[函数单调性的判断]下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是 (　　)
①y＝|x|＋1；② y＝；③ y＝－；④ y＝x＋.
A．①②　　　　　　B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；② y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数
也不是减函数；③ y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④ y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函
数．
2．[函数单调性的证明]证明函数 f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上单调递增．
【解析】任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2，
有f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
由x1，x2∈(2，＋∞)，得 x1>2，x2>2.
所以 x1x2>4，x1x2－4>0，又由 x1<x2，得 x1－x2<0.
于是<0，即 f(x1)<f(x2)．所以函数 f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增．
题型二　求函数的单调区间
【学透用活】
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B上都是增(减)函数，则两个区间用“，”或“和”连接，
不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的
端点处无定义，则必须写成开区间．
【例 2】画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
【解析】y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增
函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，
－1]和[0,1]，单调递减区间是(－1,0 )和(1，＋∞)．
【深化探究】
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