专题04 二次根式-2021年初升高数学无忧衔接（苏教版2019）(解析版)

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专题 04 二次根式
初中对于二次根式的学习，主要集中在基础的“数”的运算，对于二次根式里含代数式的问题设计较少。
相较于初中的二次根式的学习，高中更多的是研究二次根式内含代数式的问题，主要利用二次根式内的数
（式）的非负性。
《初中课程要求》 1、了解二次根式的概念；
2、知道被开方数必须是非负数；
3、能运营二次根式的性质解决实际问题。
《高中课程要求》 1、在掌握二次根式的基础方法上进一步熟悉二次根式的运算方法；
2、能够进行二次根式的分子、分母有理化；
3、会使用“夹逼”的方法推出被开放数为零。
一般地，形如
❑
√
a(a ≥0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子
称为无理式.例如
❑
√
a+b
，
❑
√
x2+2x+3
等是无理式，而
❑
√
a2
，
❑
√
x2+2x+1
等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根式化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引
入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我
们就说这两个代数式互为有理化因式。
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母（子）的有理化因式，化去分母（子）中的根号
的过程；例如
1
❑
√
a
,我们可以这样有理化：
1
❑
√
a=❑
√
a
❑
√
a ∙❑
√
a=❑
√
a
a
；而对于
、
❑
√
a −❑
√
b
a
类型
专题综述
课程要求
课程要求
知识精讲
初中知识储备：利用公式因式分解
的式子，我们要同乘分母 （子）的相反因式 ：
1
❑
√
a −❑
√
b=(❑
√
a+❑
√
b)
(❑
√
a −❑
√
b)∙(❑
√
a+❑
√
b)=❑
√
a+❑
√
b
a −b
；
❑
√
a −❑
√
b
a=(❑
√
a −❑
√
b)⋅(❑
√
a+❑
√
b)
a(❑
√
a+❑
√
b)=a −b
a(❑
√
a+❑
√
b)
。分母（子）有理化的过程也是平方差公式运用
的过程，在运用中要注意看清需要哪种有理化，到底是分母还是分子。
2．二次根式
❑
√
a2
的意义
❑
√
a2=¿a∨¿
{
a，a ≥ 0，
− a，a ≤ 0，
例题 1．实践与探索
（1）填空： ________；________．
（2）观察第（1）的结果填空：当 时， ________；当 时， ________．
（3）利用你总结的规律计算： ，其中 x的取值范围在数轴上表示为 ．
【答案】（1）3，5；（2）a， ；（3）2
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
解：（1）3；‘ =5；
故答案为：3，5；
（2）当 a≥0 时a；当 a＜0时， -a；
故答案为：a，-a；
（3）由数轴可得 x的取值范围为 ，
∴x-2＞0、x-4＜0，
典例剖析
∴
=2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
1. 用※定义一种新运算：对于任意实数 m和n，规定 m※n，如：1 2※
．
（1）求（﹣2）※ ；
（2）若 3※m＜－6，化简 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于 m的不等式，解不等式得到 m的取值范围即可得到最终答案．
【详解】
解：（1）
；
（2）由已知可得：3m<-6，
解之可得：m<-2，即-m>2，
∴2-m>4>0，-m-2>0，
变式训练
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