专题04 第四章 指数函数与对数函数（解答题典型20题）（解析版）-【期末满分进阶】2021-2022学年高一数学上学期期末满分进阶之路（人教A版2019必修第一册）

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专题 04 第四章 指数函数与对数函数（解答题典型 20 题）
1．（2021·新疆·乌苏市第一中学高一期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一
台仪器需增加投入 100 元，已知总收益（单位：元）函数 其中 是仪器的产
量（单位：台）.
（1）将利润 （单位：元）表示为产量
x
的函数（利润=总收益-总成本）；
（2）当产量 为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】
（1）
（2）当 时，利润有最大值为 .
（1）
当 时， ；
当 时， .
故 .
（2）
当 时， ，
故当 时，函数有最大值为 ；
当 时， .
综上所述：当 时，利润有最大值为 .
2．（2021·宁夏·六盘山高级中学高一期中）已知函数 （ 且 ）在 上的最大
值为 .
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求函数 的值域.
【答案】
（1） 或
（2）
（1）
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，所以 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以
综上， 或 ；
（2）
因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，所以函数 的值域与函数 的值域相同，
所以 ，
函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
3．（2021·浙江省青田县中学高一期中） 年浙江省第十七届运动会将在金华举行.主办方在建造运动
会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为 年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是 万
元，设每年的能源消耗费用为 （万元），隔热层厚度为 （厘米），两者满足关系式： （
为常数， ）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为 万元. 年的总维修费用为 万元.记
为 年的总费用.（总费用=隔热层的建造成本费用 使用 年的能源消耗费用 年的总维修费
用）.
（1）求 的表达式；
（2）当隔热层的厚度为多少厘米时， 年的总费用 最小？并求 的最小值.
【答案】
（1） ，
（2）隔热层修建 5 厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为 60 万元
（1）
依题意，当 时， .
∴ ，∴ ，故 .
.
（2）
，
当且仅当 ，即当 时取得最小值，
∴隔热层修建 5 厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为 60 万元.
4．（2021·福建·福州三中高一期中）已知函数 且 .
（1）求 的值，并在直角坐标系中作出函数 的大致图象；
（2）若方程 有三个实数解，求实数 的取值范围.
【答案】
（1） ，图象见解析
（2）
（1）
解：由已知可得 ，则 ，解得 ，
所以， ，作出函数 的图象如下图所示：
专题04 第四章 指数函数与对数函数（解答题典型20题）（解析版）-【期末满分进阶】2021-2022学年高一数学上学期期末满分进阶之路（人教A版2019必修第一册）.docx

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