专题04 第三章 函数的概念与性质（解答题典型20题）（解析版）-【期末满分进阶】2021-2022学年高一数学上学期期末满分进阶之路（人教A版2019必修第一册）

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专题 04 第三章 函数的概念与性质（解答题典型 20 题）
1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）已知函数 ．
（1）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数 在区间 上的值域．
【答案】
（1）函数 在 上为增函数，证明见解析
（2）
（1）
解：函数 在 上的为增函数，理由如下：
任取 、 且 ，即 ，
则 ，即 ，
故函数 在 上为增函数.
（2）
解：由（1）可知，函数 在 上为增函数，
当 时， ， .
因此，函数 在区间 上的值域为 .
2．（江西省部分学校 2021-2022 学年高一上学期期中联考数学试题）已知二次函数 .
（1）若 为偶函数，求 在 上的值域；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
（1）
根据题意，函数 为二次函数，其对称轴为 .
若 为偶函数，则 ，解得 ，
则 ，又由 ，则有 ，
即函数 的值域为 .
（2）
由题意知 时， 恒成立，即 .
所以 恒成立，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，解得 ，所以
a
的取值范围是 .
3．（2021·福建·三明一中高一期中）已知函数 .
（1）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2） ， ，求实数 的取值范围.
【答案】
（1）函数 在区间 上的增函数，证明见解析
（2）
（1）
函数 在区间 上的增函数.
证明如下：设 ，
.
因为 ，所以 ， ， .
所以 ，即 .
所以函数 在区间 上是增函数.
（2）
因为 ，所以 .
由（1）知， 在 上是增函数，所以 ，即 .
所以， ，所以 .
4．（江西省部分学校 2021-2022 学年高一上学期期中联考数学试题）已知奇函数
（1）求 的值；
（2）画出函数 的图象；
（3）若函数 在区间 上单调递增，试确定 的取值范围.
【答案】
（1）
（2）答案见解析
（3）
（1）
当 时， ，
因为 是奇函数，所以 ，
所以 .故 .
（2）
图象如下图：
（3）
由图象可知 ，解得 或 .
即实数
a
的取值范围为 .
5．（江西省部分学校 2021-2022 学年高一上学期期中联考数学试题）已知函数 .
（1）用定义法证明：函数 为减函数；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】
（1）证明见解析
（2）
（1）
专题04 第三章 函数的概念与性质（解答题典型20题）（解析版）-【期末满分进阶】2021-2022学年高一数学上学期期末满分进阶之路（人教A版2019必修第一册）.docx

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