专题04 导数的概念及其几何意义（重难点突破）解析版 -【课后辅导专用】2022年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

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专题 04 导数的概念及其几何意义
一、考情分析
二、考点梳理
一、平均变化率
1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
2.平均变化率
一般地，函数 f(x)在区间 上的平均变化率为：
3.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出 和
②作商：对所求得的差作商，即 。
二、导数的概念
定义：函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数
在 处的导数,记作
三、求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
① 求函数的增量： ；
② 求平均变化率： ；
③ 求极限，得导数： 。
也可称为三步法求导数。
三、题型突破
重难点题型突破 1、平均变化率与瞬时变化率
函数 在某点 处的导数
例 1．（1）、（2022·全国·高二课时练习）一质点 M按运动方程 做直线运动（位移单位：m，
时间单位：s），若质点 M在 时的瞬时速度为 8m/s，则常数 a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
先对已知方程求导，然后结合导数的定义即可直接求解．
【详解】
解：因为 ，
由题意得， ，
所以 ．
故选：B
（2）、（2022·广东梅州·高二期末）设函数 在 R上可导，则 （ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据极限的定义计算．
【详解】
由题意 ．
故选：B．
（3）、（2021·全国·高二课时练习）（多选题）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 叫作函数值的增量
B． 叫作函数在 上的平均变化率
C． 在 处的导数记为
D． 在 处的导数记为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由函数值的增量的意义判断 A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断 BCD.
【详解】
A中， 叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；
B中， 称为函数 在 到 之间的平均变化率，B正确；
由导数的定义知函数 在 处的导数记为 ，故 C错误，D正确.
故选：ABD
【变式训练 1-1】、（2021·广西·高三阶段练习（文））已知某物体位移 （米）与时间 （秒）的关系是
，则速度为 9米/秒的时刻是（ ）
A．1秒末 B．0秒末
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