专题04 极化恒等式（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）
专题 04 极化恒等式
阅读以下材料：
引例:平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。
你能用向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
证明：不妨设
⃗
AB=
⃗
a ,
⃗
AD=
⃗
b ,
，
|
⃗
AC|
2=
⃗
AC2=
(
⃗
a+
⃗
b
)
2=|
⃗
a|
2+2
⃗
a⋅
⃗
b+|
⃗
b|
2
（1）
|
⃗
DB|
2=
⃗
DB2=
(
⃗
a−
⃗
b
)
2=|
⃗
a|2−2
⃗
a⋅
⃗
b+|
⃗
b|
2
（2）
（1）（2）两式相加得：
|
⃗
AC|
2+|
⃗
DB|2=2
(
|
⃗
a|
2+|
⃗
b|2
)
=2
(
|
⃗
AB|2+|
⃗
AD|
2
)
结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考 1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？
————极化恒等式
即： （平行四边形模式）
思考 2：在三角形 ABC 中（M为BC 的中点），此恒等式如何表示呢？ A
BC
M
b
a
M
C
A
B
D
因为 ，所以 （三角形模式）
F
E
D
A
B
C
【例 1】江苏高考填空倒 2
如图，在△ABC 中，D是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点 ， ，
则 的值是________．
【答案】
【解析】
法一：极化恒等式
，
解得 ，故 .
法二：分点恒等式（拆分，基向量）
，
，
∵ ，
化简得
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2025-05-31 104
作者：envi
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