专题3.14 探究图形之性质，代数运算是利器-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 8 4 1.2MB 40 页 3知币

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【题型综述】

探究图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的

元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思

想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存

在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.

【典例指引】

类型一面积计算

例1 【2016 高考上海理数】（本题满分 14）有一块正方形菜地 ,所在直线是一条小河，收货的

蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的

蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐

标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图

（1）求菜地内的分界线的方程

（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上

纵坐标为 1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判

断哪一个更接近于面积的经验值

所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差

的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．学*科网

类型二四边形形状探究

例2. 【2015 高考新课标 2，理 20】已知椭圆 ,直线不过原点且不平行于坐标

轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时

的斜率，若不能，说明理由．

．解得，．因为，，，所以当的斜率为

或时，四边形为平行四边形．学*科网

类型三探究角是否相等

例3【2015 高考北京，理 19 】已知椭圆：的离心率为，点和点

都在椭圆上，直线交轴于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；

（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得

？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

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