专题3.13 探究代数表达式，函数方程来发力-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 13 探究代数表达式，函数方程来发力

【题型综述】

探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与

圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否

则不存在

(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与

圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。

【典例指引】

类型一参数值的探究

例1 【2016 年高考四川理数】（本小题满分 13 分）

已知椭圆 E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线

与椭圆 E有且只有一个公共点 T.

（Ⅰ）求椭圆 E的方程及点 T的坐标；

（Ⅱ）设 O是坐标原点，直线 l’平行于 OT，与椭圆 E交于不同的两点 A、B，且与直线 l交于点 P．证明：

存在常数，使得，并求的值.

【解析】

类型二恒等式成立探究

例2. 【2015 高考四川，理 20】如图，椭圆 E：的离心率是，过点 P（0,1）的

动直线与椭圆相交于 A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆 E截得的线段长为 .

(1)求椭圆 E的方程；

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点 P不同的定点 Q，使得恒成立？若存在，求出

点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

QA PA

QB PB



【解析】

类型三面积最小值存在性

例3【2015 高考湖北，文 22】一种画椭圆的工具如图 1所示．是滑槽的中点，短杆 ON 可绕 O转动，

长杆 MN 通过 N处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D可沿滑槽 AB 滑动，且，．当栓子

D在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为 C．以为原点，所在的

直线为轴建立如图 2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只

有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

【解析】

类型四面积关系探究

例4.（2011 湖南理 21）如图 7,椭圆的离心率为,轴被曲线截得

的线段长等于的长半轴长.

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)设与轴的交点为 ,过坐标原点的直线与相交于点 ,直线分别与相交于点

(ⅰ)求证: ;

(ⅱ)记的面积分别为 .问:是否存在直线 ,使得 ?请说明理由.

【扩展链接】

1. 为椭圆的其中一个焦点，若是椭圆上一点，则 .

2. 为双曲线的右焦点，若是双曲线右支上一点，则，若是

双曲线左支上一点，则，.

3. 为椭圆的左焦点，是过左焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，则

, , , .

4. 为抛物线的焦点，是过左焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，则

，, , .

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