专题3.13 探究代数表达式，函数方程来发力-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 4 4 1.38MB 42 页 3知币

【题型综述】

探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与

圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否

则不存在

(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与

圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。

【典例指引】

类型一参数值的探究

例1 【2016 年高考四川理数】（本小题满分 13 分）

已知椭圆 E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线

与椭圆 E有且只有一个公共点 T.

（Ⅰ）求椭圆 E的方程及点 T的坐标；

（Ⅱ）设 O是坐标原点，直线 l’平行于 OT，与椭圆 E交于不同的两点 A、B，且与直线 l交于点 P．证明：

存在常数，使得，并求的值.

方程②的判别式为，由，解得 .

由②得 .

所以，

同理，学*科网

所以

故存在常数，使得 .

类型二恒等式成立探究

例2. 【2015 高考四川，理 20】如图，椭圆 E：的离心率是，过点 P（0,1）的

动直线与椭圆相交于 A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆 E截得的线段长为 .

(1)求椭圆 E的方程；

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点 P不同的定点 Q，使得恒成立？若存在，求出

点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于 C、D两点.

如果存在定点 Q满足条件，则，即 .

QA PA

QB PB



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