专题3.12 综合求证多变换，几何结合代数算-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 12 综合求证多变换，几何结合代数算
【 题型综述 】
综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出
曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.
(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截
距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标
的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距
之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．
（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见 的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而 转化为直线与
圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.
(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再
用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.
【典例指引】
类型一 证明分点问题
例1 【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0， ）作直线 l与抛物线 C交于
不同的两点 M，N，过点 M作x轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O为原点.
（Ⅰ）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；[来源:学*科*网Z*X*X*K]
（Ⅱ）求证：A为线段 BM 的中点..
【解析】
类型二 几何证明问题
例2. 【2015 高考湖南，理 20】已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的
一个焦点， 与 的公共弦的长为 .
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点，且 与 同向
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率
（ⅱ）设 在点 处的切线与 轴的交点为 ，证明：直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形
【解析】
类型三 等式证明
例3【2015 高考上海，理 21】已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和
、 ，记得到的平行四边形 的面积为 .
（1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ；
（2）设 与 的斜率之积为 ，求面积 的值.
【解析】
类型四 长度关系证明
例4.【2016 高考四川】已知椭圆 E： 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三
个顶点，点 在椭圆 E上.
(Ⅰ)求椭圆 E的方程；
(Ⅱ)设不过原点 O且 斜率为的直线 l与椭圆 E交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭
圆E交于 C，D，证明 ： ．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【扩展链接】
1.圆锥曲线以 P(x0，y0)(y0≠0)为 中点的弦所在直线的斜率分别是：k＝－(椭圆＋＝1)，k＝(双曲线－＝1)，k
＝(抛物线 y2＝2px)，其中 k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标．
2.给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝
0MBMA
MBMA AMB
0mMBMA
AMB
角, 给出 ,等于已知 是锐角；
3.在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形;
4.在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形;
【新题展示】
1．【2019 宁夏吴忠中学一模】在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 ， 在 轴上，离
心率为 ．过 的直线 交 于 ， 两点，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）圆 与 轴正半轴相交于两点 ， （点 在点 的左侧），过点 任作一条直线
与椭圆 相交于 ， 两点，连接 ， ，求证 ．
【 思路引导】
（1）设椭圆 C的方程为 (a＞b＞0)，由离心率为 ，得 ，又△PQF2的周长为 4a= ，
得a＝2，进而求出椭圆方程；
（2）把y＝0代入圆的方程求出 x的值，确定 M与N的坐标，当 AB⊥x轴时，由椭圆的对称性得证；当
AB 与x轴不垂直时，设直线 AB 为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立得到关于 x的一元二次方程，设
A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理表示出 x1+x2，x1x2，进 而表示出直线 AN 与直线 BN 斜率之和为
0，即可得证．
2．【2019 福建厦门 3月质检】已知椭圆 ： ，过点 且与 轴不重合的直线与 相交于 两
点，点 ，直线 与直线 交于点 ．
（1）当 垂直于 轴时，求直线 的方程；
（2）证明： ．[来源:Zxxk.Com]
【思路引导】
（1）当 垂直于 轴时，其方程为 ，求出点 的坐标后可得直线 的斜率，于是可得直线方程。
（2）由于 在 轴上，所以只需证明点 的纵坐标相等即可得到结论成立，解题时注意直线方程的设法．
0mMBMA
AMB
ABCD
0)()( ADABADAB
ABCD
ABCD
| | | |AB AD AB AD  
                                          
ABCD
专题3.12 综合求证多变换，几何结合代数算-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）.docx

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