专题3.12 综合求证多变换，几何结合代数算-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 9 4 1.22MB 37 页 3知币

【题型综述】

综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出

曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.

(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截

距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标

的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距

之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．

（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与

圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再

用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.

【典例指引】

类型一证明分点问题

例1 【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0，）作直线 l与抛物线 C交于

不同的两点 M，N，过点 M作x轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O为原点.

（Ⅰ）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段 BM 的中点..

直线 ON 的方程为，点 B的坐标为 .

因为

，

所以 .学科*网

故A为线段 BM 的中点.

类型二几何证明问题

例2. 【2015 高考湖南，理 20】已知抛物线的焦点也是椭圆的

一个焦点，与的公共弦的长为 .

（1）求的方程；

（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向

（ⅰ）若，求直线的斜率

（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形

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