专题3.11 切线处理情况多，曲线不同法定度-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 11 切线处理情况多，曲线不同法定度

【题型综述】

圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法

求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路 2，根据题中

条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或 y）的一元二次方程，利用切线与圆

锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或 y）的一元二次方程的二次项

系数不为 0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.

【典例指引】 [ 来源 : 学 § 科 § 网

Z§X§X§K]

类型一导数法求抛物线切线

例1 【2017 课表 1，文 20】设A，B为曲线 C：y=上两点，A与B的横坐标之和为 4．

（1）求直线 AB 的斜率；

（2）设 M为曲线 C上一点，C在M处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程．

【解析】

类型二椭圆的切线问题

例2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为 .

（1）求椭圆 C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点 P到椭圆 C的两条切线相互垂直，求点 P的轨迹方程.

【解析】

类型三直线与椭圆的一个交点

例3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为 4，且过点 .

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为 .取点 ,连接

，过点作的垂线交轴于点 .点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直

线是否与椭圆 C一定有唯一的公共点？并说明理由.

【解析】

类型四待定系数求抛物线的切线问题

例4 【2013 年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的

距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；

(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

【解析】

【扩展链接】

1. 椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆

外一点所引两条切线方程是 .

2. 双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；

双曲线上一点所引两条切线方程是 .

3. 抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物

线上一点所引两条切线方程是 .[来源:Z§xx§k.Com]

4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，

则.

5.设椭圆 :的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，

则.

6.设双曲线 :的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于

两点，则 .

【新题展示】

1．【2019 福建龙岩质检】已知椭圆的两焦点为、，抛物线：（）的焦点为，

为等腰直角三角形．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知过点的直线与抛物线交于两点，又过作抛物线的切线，使得，问这样

的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．[来源:Z_xx_k.Com]

【思路引导】

（Ⅰ）先写出、的坐标，利用为等腰直角三角形，求得 p即可．

（Ⅱ）依题意，直线 l的斜率必存在，设直线 l的方程为 y＝k（x+2），，可得切线 l1，l2的

斜率分别为，．x1x2＝﹣4．再将直线与抛物线联立，结合韦达定理解得 k即可．

2．【2019 河南九师联盟 2月质检】已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且

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