专题3.11 切线处理情况多，曲线不同法定度-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

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【题型综述】

圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法

求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路 2，根据题中

条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或 y）的一元二次方程，利用切线与圆

锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或 y）的一元二次方程的二次项

系数不为 0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.

【典例指引】

类型一导数法求抛物线切线

例1 【2017 课表 1，文 20】设A，B为曲线 C：y=上两点，A与B的横坐标之和为 4．

（1）求直线 AB 的斜率；

（2）设 M为曲线 C上一点，C在M处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程．

类型二椭圆的切线问题

例2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为 .

（1）求椭圆 C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点 P到椭圆 C的两条切线相互垂直，求点 P的轨迹方程.

类型三直线与椭圆的一个交点

例3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为 4，且过点 .

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为 .取点 ,连接

，过点作的垂线交轴于点 .点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直

线是否与椭圆 C一定有唯一的公共点？并说明理由.

【解析】（1）因为椭圆过点

且学*科网

椭圆 C的方程是

（2）

由题意，各点的坐标如上图所示，

则的直线方程：

化简得

又，学*科网

所以带入

求得最后

所以直线与椭圆只有一个公共点.

类型四待定系数求抛物线的切线问题

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