专题3.10 判断点在圆内外，向量应用最厉害-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 10 判断点在圆内外，向量应用最厉害
【 题型综述 】
　　点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到
点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知 是
圆的直径， 是平面内一点，则 点 在圆内； 点 在圆外；
点 在圆上．③方程法，已知圆的方程 ，点 ，则
点 在 圆 内 ； 点 在 圆 上 ；
点 在圆 外.
四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三
点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.
【典例指引】
类型一 向量法判定点与圆的位置关系[来源:Zxxk.Com]
例1 【2015 高考福建，理 18】已知椭圆 E： 过点 ，且离心率为 ．
(Ⅰ)求椭圆 E的方程 ；
(Ⅱ)设直线 交椭圆 E于A，B两点，
判断点 G与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【解析】
类型二 四点共圆应用问题
例2. （2014 全国大纲 21）已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线 与 y轴的交点为 P，与
C的交点为 Q， 且 .
（I）求 C的方程；
（II）过 F的直线 与 C相交于 A，B两点，若 AB 的垂直平分线 与 C相较于 M，N两点，且 A，M，B，N
四点在同一圆上，求 的方程.
【解析】
类型三 动圆过定点问题[来源:Zxxk.Com]
例3 (2012 福建理 19)如图，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率 。
过 的直线交椭圆于 两点，且 的周长为 8。
（Ⅰ）求椭圆 的方程。
（Ⅱ）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 。试探究：
在坐标平面内是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，说明理由。
)0(1: 2
2
2
2
ba
b
y
a
x
E
1
F
2
F
2
1
e
1
F
BA,
2
ABF
E
mkxyl :
E P
4x
Q
M
PQ
M M
【解析】
类型四 证明四点共圆
例4.已知 O为坐标原点，F为椭 圆 在 y轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为 的直线 与 C
交与 A、B两点，点 P满足
(Ⅰ)证明：点 P在C上；
（Ⅱ）设点 P关于点 O的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【解析】
【扩展链接】 [ 来源 :Z+xx+k.Com]
1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 .（1）;（2）|OP|2+|OQ|2
的最大值为 ;（3） 的最小值是 .
2.若椭圆方程为 ，半焦距为 ，焦点 ，设
过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B两点，则有：①
；②
若椭圆方程为 ，半焦距为 ，焦点 ，设
过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B两点，则有：①
；②
同理 可求得焦点在 y轴上的过焦点弦长为 （a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
2 2
2 2 1 ( 0)
x y a b
a b
 
2 2
2 2 1 ( 0)
x y a b
a b
 
专题3.10 判断点在圆内外，向量应用最厉害-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）.docx

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