专题3.10 判断点在圆内外，向量应用最厉害-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）
【 题型综述 】
点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到
点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知 是
圆的直径， 是平面内一点，则 点 在圆内； 点 在圆外；
点 在圆上．③方程法，已知圆的方程 ，点 ，则
点 在 圆 内 ； 点 在 圆 上 ；
点 在圆 外.
四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其 中三点的圆
的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.
【典例指引】
类型一 向量法判定点与圆的位置关系
例1 【2015 高考福建，理 18】已知椭圆 E： 过点 ，且离心率为 ．
(Ⅰ)求椭圆 E的方程；
(Ⅱ)设直线 交椭圆 E于A，B两点，
判断点 G与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得
解得 ，
所以椭圆 E的方程为 ．
(Ⅱ)设点 AB 中点为 ．
由 学科&网
所以 从而 .
所以 .
,
故
所以 ，故 G在以 AB 为直径的圆外．
所以 不共线，所以 为锐角.
故点 G在以 AB 为直径的圆外．学科&网
类型二 四点共圆应用问题
例2. （2014 全国大纲 21）已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线 与 y轴的交点为 P，与
C的交点为 Q，且 .
（I）求 C的方程；
（II）过 F的直线 与 C相交于 A，B两点，若 AB 的垂直平分线 与 C相较于 M，N两点，且 A，M，B，N
四点在同一圆上，求 的方程.
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