专题3.6 定值计算并不难，构建函数再消元-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 6 定值计算并不难，构建函数再消元

【题型综述】

　　在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，

这类问题统称为定值问题．

　　探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证

明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关

键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出

定值．

【典例指引】

例1．已知圆与坐标轴交于（如图）．

（1）点是圆上除外的任意点（如图 1），与直线交于不同的两点，

求的最小值；

（2）点是圆上除外的任意点（如图 2），直线交轴于点，直线交

于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值．[来源:学#科#网]

【思路引导】

（1）设出，的直线方程，联立直线，分别得出 M,N 的坐标，表示出

，求其最值即可；（2）分别写出 E,F 的坐标，写出斜率，即可证明为定值．

试题解析：（ 1 ）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为

由，解得；由，解得．

所以，直线与直线的交点，

直线与直线的交点，所以．

当时，，等号成立的条件是．

故线段长的最小值是．

（2）由题意可知，

的斜率为直线的方程为，由，得，

则直线的方程为，令，则，即，

直线的方程为，由，解得，

的斜率（定值）．

例2．已知椭圆的离心率为，以原点 O为圆心，椭圆 C的长半轴长为半径

的圆与直线相切．

⑴求椭圆 C的标准方程；

⑵已知点 A、B为动直线与椭圆 C的两个交点，问：在 x轴上是否存在定点 E，使得

为定值？若存在，试求出点 E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

【思路引导】

（Ⅰ）由 e= ，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆与直线相切，求出

a，b，由此能求出椭圆的方程．

（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结

合已知条件能求出在 x 轴上存在点 E，使为定值，定点为（）．

试题解析：

（Ⅰ）由 e= ，得 =，即 c= a，①

以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x2+y2=a2，

此圆与直线 2x﹣ +6=0 相切，∴a= =，

代入①得 c=2，（4 分）

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