专题3.3 图形面积求最值，函数值域正当时-玩转压轴题，突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 3 图形面积求最值，函数值域正当时
【 题型综述 】
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接
进行表示的底（或高）
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高
不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或
“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过
程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析
【典例指引】
例1已知椭圆 （ ）的一个顶点为 ，离心率为 ，直线
（ ）与椭圆 交于 ， 两点，若存在关于过点 的直线，使得点 与点 关于该直线对称．
（I）求椭圆 的方程；
（II）求实数 的取值范围；
（III）用 表示 的面积 ，并判断 是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线 斜率 与截距 之间的关系；②据位
置关系构建直线 斜率 与截距 之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法
一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐
标之和及弦 的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式
的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标 纵坐标；
法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线 的斜率 与截距 之间的关系．构建不等式的方式：法
一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数 的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中
点在椭圆内构建参数 的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；
（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角
形 面 积 ， 三 角 形 的 底 则 为 弦 长 ， 三 角 形 高 则 为 点 线 距 离 ． 法 二 利 用 三 角 形 面 积 的 坐 标 公 式
，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达
定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以
分母为整体，分子常数化，往往 化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式
并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构 的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免
导数过程．
变式与引申：若过点 的直线交椭圆于 ，求四边形 的面积的取值范围．
例2、已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 ，离心率 ，短轴长为 2.
（1）求椭圆的方程；
（2）点 为椭圆上的一动点（非长轴端点）， 的延长线与椭圆交于 点， 的延长线与椭圆交于
点，求 面积的最大值.
例3、已知点 A（﹣4，4）、B（4，4），直线 AM 与BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜
率之差为﹣2，点 M的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的轨迹方程；
（2）Q为直线 y= 1﹣ 上的动点，过 Q做曲线 C的切线，切点分别为 D、E，求△QDE 的面积 S的最小值．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的 斜率之间的关系、两点间的距
离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能
力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利
用根与系数的关系，表示出三 角形的面积是解答问题的关键．
例4、已知椭圆 的焦距为 2,离心率 为 .
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)过 点 作圆 的切线,切点分别为 ,直线 与 轴交于点 ,过点 作直线 交
椭圆 于 两点,点 关于 轴的对称点为 ,求 面积的最大值.
【思路引导】
(Ⅰ)由椭圆的焦点为 ，离心率 为 ，求出 ，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)由题意，得 、 、
、 四点共圆，该圆的方程为 ，得 的方程为 ，直线 的方
程为 ，设， 则 ， 从 而 最 大 ，
就最大，可设直线 的方程为 ，由 ，得 ，由
此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出 的面积的最大值.
【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题 .
解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关
结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、
配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调
法 面积的最大值的.
【扩展链接】
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