专题03 分段函数（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇，人教A版2019必修第一册）

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专题 03 分段函数

知识点　分段函数的定义及本质

分段函数的定义及本质

(1)定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

(2)本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域

是各段上“值域”的并集．

【提醒】

(1)分段函数是一个函数而不是几个函数．解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，

从而选取相应的对应关系．

(2)作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段

函数的图象．

(3)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取

值范围．

【基础自测】

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)分段函数由几个函数构成． (　　)

(2)分段函数有多个定义域． (　　)

(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． (　　)

(4)函数 f(x)＝|x|可以用分段函数表示． (　　)

【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√

2．f(x)＝|x－1|的图象是 (　　)

【答案】B

【解析】∵f(x)＝|x－1|＝当 x＝1时，f(1)＝0，

可排除 A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除 D.

3．函数 y＝的定义域为____________，值域为___________．

【答案】(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞)

4．已知函数 f(x)＝则 f(2)＝________.

给出下列三组函数，其中表示同一函数的是________(填序号)．

①f(x)＝x，g(x)＝；

②f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1；

③f(x)＝x，g(x)＝.

【解析】1

【解析】f(2)＝＝1.

题型一　分段函数的定义域、值域

【例 1】(1)已知函数 f(x)＝，则其定义域为 (　　)

A．R　　　　　　B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋

∞)

(2)函数 f(x)＝的定义域为________，值域为________．

【答案】(1)D　(2)(－1,1)　(－1,1)

【解析】(1)要使 f(x)有意义，需 x≠0，

故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)由已知得定义域为{x|0＜x＜1} {0} {∪ ∪ x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1,1)．又 0＜x＜1时，0＜－

x2＋1＜1；－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0；x＝0时，f(x)＝0.故值域为(－1,0) {0} (0,1)∪ ∪ ＝(－1,1)．

【方法技巧】

求分段函数定义域、值域的策略

(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；

(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集；

(3)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　　

【变式训练】

1．函数 f(x)＝的值域是

(

)

A．R B．[0，＋∞) C．[0,3] D．[0,2]∪{3}

【答案】D

【解析】当x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数 f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．

2．已知函数 f(x)＝求函数 f(x)的定义域和值域．

【解析】由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R.又x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值

域为[0,1]．

题型二　分段函数求值问题

【例 2】已知函数 f(x)＝

(1)求f(－5)，f(－)，f的值；

(2)若f(a)＝3，求实数 a的值；

(3)若f(x)>2x，求 x的取值范围．

【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，

f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.

∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2，

∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.

(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去；

当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0.

∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1或a＝－3.

∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，

∴a＝1符合题意；

当a≥2时，2a－1＝3，即 a＝2符合题意．

综上可得，当 f(a)＝3时，a＝1或a＝2.

(3)当x≤－2时，f(x)>2x可化为 x＋1>2x，

即x<1，所以 x≤－2；

当－2<x<2 时，f(x)>2x可化为 x2＋2x>2x，

即x≠0，所以－2<x<0 或0＜x＜2；

当x≥2时，f(x)>2x可化为 2x－1>2x，则 x∈∅.

综上可得，x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜2}．

【方法技巧】

1．求分段函数函数值的方法

(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．

(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论．

(2)然后代入到不同的解析式中．

(3)通过解方程求出字母的值．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．　　

【变式训练】

1．[求函数值]设f(x)＝则 f(f(－2))＝________.

【答案】2

【解析】∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f(f(－2))＝f(4)＝4－2＝2.

2．[求自变量的值]函数 f(x)＝若 f(x0)＝8，则 x0＝________.

【解析】当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即 x＝6，

∴x0＝－或 x0＝(舍去)；

当x0>2 时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.

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