第02讲 直线和圆的方程-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

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第 02 讲 直线和圆的方程
知识点 1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线 l与x轴相交时，取 x轴作为基准，x轴正向与直线 l向上的方向之间所成的角 α叫做直线 l的
倾斜角．如图所示，直线 l的倾斜角是∠APx，直线 l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角 α的取值范围是 0°≤α＜180°，并规定与 x轴平行或重合的直线的倾
斜角为 0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点 2　直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母 k表示，即 k＝tan α .
【考点目录】
【知识梳理】
2．斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝.当x1＝x2时，直线 P1P2没有斜率．
知识点 3 斜率与倾斜角的联系
倾斜角
（范围）
0
0 90
 
 
90
90 180
 
 
斜率
k
（范围）
k
不存在
0k
知识点 4 两条直线平行和垂直　
1．对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 l1∥l2⇔k1＝k2.
注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时， 与 的倾斜角都是 ，则 .
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或 ， 斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率
之积等于－1，那么它们互相垂直，即 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0 且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线 l1：y＝k1x＋b1与直线 l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则 k1＝k2，此时两直线与 y轴的交点不同，即 b1≠b2；反之 k1＝k2，且 b1≠b2时，l1∥l2.所以
有l1∥l2⇔k1＝k2，且 b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则 k1·k2＝－1；反之 k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注
意考虑 b1≠b2这个条件．　
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写
方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为 0)平行的直线方程可设为 Ax＋
By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定 C1；
②与直线 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为 0)垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定
C2.
知识点 5 直线的五种方程
名称 条件 方程 图形 适用范围
点斜式 直线 l过定点 P(x0，y0)，斜率为 k y－y0＝k(x－x0)
不表示垂直于
轴的直线
斜截式
直线 l的斜率为 k，且与 y轴的交点
为(0，b)(直线 l与y轴的交点(0，b)
的纵坐标 b叫做直线 l在y轴上的截
距)
y ＝ kx ＋ b
不表示垂直于
轴的直线
两点式 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其 中
x1≠x2，y1≠y2
＝不表示垂直于坐
标轴的直线
截距式 在x轴上截距 a，在 y轴上截距 b＋＝1
不表示垂直于坐
标轴的直线及过
原点的直线
一般
式A，B，C为系数 Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
任何位置的直
线
知识点 6 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为 P，则
点P既在直线 l1上，也在直线 l2上．所以点 P的坐标既满足直线 l1的方程 A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线 l2
的方程 A2x＋B2y＋C2＝0，即点 P的坐标就是方程组的解．
2、直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线 l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线 l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
知识点 7　两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ .
原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝.
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