第02讲 平面向量的加、减法运算 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第2讲 平面向量的加、减法运算
知识点 1 向量的加法
向量的加法运算
向量
运算
定义 法则(或几何意义)
加法
求两个向量和的
运算
向量加法的三角形法则：
如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB＝a，BC＝b，
则向量AC叫做 a与b的和(或和向量)，记作 a＋b，即 a＋b＝AB＋BC＝AC.
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*
对于零向量与任一向量 a的和有 a＋0＝0＋a＝a.
向量加法的平行四边形法则：
如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作OA＝a，OB＝b，则 O、A、B三
点不共线，以 OA，OB
为邻边作平行四边形，则以 O为起点的对角线上的
向量OC＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．
www -2-
向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连
平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适
用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于
不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
向量加法的运算律： 交换律： ； 结合律： ．
和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有 ．
当 与 共线且同向时， ；
当 与 共线且异向时， ；
当 与 不共线时， ．
知识点 2 向量的减法
1、相反向量
(1)我们规定，与向量 a长度相等，方向相反的向量，叫做 a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若 ， 互为相反向量，则 ， ， 0
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即 0＝－0.
2、向量的减法运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)
减法 向量 加上向量 的相反
向量，叫做 与 的差，
即 ， 求 两
个向量差的运算，叫做向
量的减法，向量的减法实
质上也是向量的加法．
向量减法的三角形法则：
如图，在平面内任取一点 ，作 ，，则向
量 为所求，即 ．即把两个向量的起
点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被
减向量的终点为终点的向量．
向量减法的平行四边形法则：
如图，在平面内任取一点 ，作 ，，分别
以 ， 为边作平行四边形 ，连接 ，则
，这种作差向量的方法实质上是利用向
量减法的定义．
向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减
向量的加法和减法的运算问题
关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法
就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向 量的运
算式子中，将式子中的“ ”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“−
”改为“ ”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位
置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简
结果．
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