第02讲 基本立体图形的直观图 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）

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第2讲 基本立体图形的直观图
知识点 1 直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间
图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
知识点 2 水平放置的平面图形的直观图
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的 x轴和 y轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴和 y
′轴， 两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于 x轴或 y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段．（平行关系
不变）
(3)已知图形中平行于 x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段，长度变为原来地
一半.
注：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，
这些点的位置都要通过其所在的平行于 x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系 xOy，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴和 y′轴，两
轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′=45°．
（2）定点：根据“原图形中平行于 x轴或 y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段；
原图形中平行于 x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段，长度为原来的一半”的
规则，确定平面图形的关键点．
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图．
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为坐标轴．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为坐标轴；若平面图形为中心对称图形，一般取对称
中心为坐标原点．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
知识点 3 空间几何体的直观图
1、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点 O′，且与 x′轴的夹角为 90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画
侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
2．画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．
（2）要先画出底面的直观图，然后画出其余各面．
（3）与 z轴平行的线段在直观图中应与 z′轴平行且长度保持不变.
知识点 4 对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x轴垂直的线段，在直观图中均与 x′轴成 45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x′轴或 z′轴的线段长度不变；平行于 y′轴的
线段长度变为原来的一半．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图
中画出．
注：在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化. 因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
考点一 水平放置的平面图形的直观图
解题方略：
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶
点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴
平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．　
【例 1】用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A的两边分别平行于 x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直
观图中∠A′＝(　　)
A．45°　　　　　　　　　　 B．135°
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