第02讲 复数的几何意义 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第2讲 复数的几何意义
知识点 1 复平面、实轴、虚轴与复数的对应
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实
数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点 Z的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可
用点 Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定
的复数是 z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
知识点 2 复数的几何意义
注：复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以
用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点 O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与
OZ相等的向量有无数个．
知识点 3 复数的模
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为OZ，则向量OZ的模 r叫做复数 z＝a＋bi的模，记作| z | 或| a ＋ b i| .由
模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
注：(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面
上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数
不能比较大小．
(2)数的角度理解：复数 a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可
以比较大小．
(3)几何角度理解：表示复数的点 Z到原点的距离．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数 z1, z2对应
的点之间的距离．
考点一 复数与复平面内点的关系
解题方略：
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点 Z(a，b)来表示，是解决
此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．　
【例 1】在复平面上，与点 相对应的的复数为（）
A．B．C．D．
【解析】在复平面上，点 相对应的的复数为 .故选：D.
变式 1：已知复数 z＝－i，复平面内对应点 Z的坐标为(　　)
A．(0，－1)　　　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
【解析】复数 z＝－i的实部为 0，虚部为－1，故复平面内对应点 Z的坐标为(0，－1)．故选 A.
【例 2】复数 z＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】z＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．故选 C.
变式 1：若复数 为纯虚数，则复数 在复平面所对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限
【解析】∵复数 ﹣4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数,
∴实部 ﹣4＝0①，虚部 a＋2≠0②，由①②解得 a＝2.
故对应的点为(4，－2)位于第四象限.
故选：C.
变式 2：若 x，y∈R，i为虚数单位，且 x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数 x＋yi在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
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