7.7空间几何体中求夹角（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 14 4 3.37MB 32 页 3知币

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7.7 空间几何体中求夹角

【题型解读】

【知识必备】

1．异面直线所成的角

若异面直线 l1，l2所成的角为 θ，其方向向量分别是 u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.

2．直线与平面所成的角

如图，直线 AB 与平面 α相交于点 B，设直线 AB 与平面 α所成的角为 θ，直线 AB 的方向向量为 u，平面 α

的法向量为 n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.

3．平面与平面的夹角

如图，平面 α与平面 β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面 α与平

面β的夹角．

若平面 α，β的法向量分别是 n1和n2，则平面 α与平面 β的夹角即为向量 n1和n2的夹角或其补角．设平面

α与平面 β的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.

【题型精讲】

【题型一异面直线所成的角】

技巧方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．

例1 （2022·陕西安康·高三期末）在三棱锥 P—ABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC，M、N分别

为AC、AB 的中点，则异面直线 PN 和BM 所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】以点 P为坐标原点，以，，方向为 x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角

坐标系，

令，则，，，，

则，，

设异面直线 PN 和BM 所成角为，则 .故选：B.

例2 （2022·江苏南通市高三模拟）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且

，，底面，已知，四边形的面积为 .

（1）证明：直线平面；

（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦

值.

【答案】（1）证明见解析；（2） .

【解析】（1）因为四边形的面积为，所以，解得，

如图，过点作于点，则，，

因为，所以，

因为底面，底面，所以，

因为，所以直线平面 .

（2）因为底面，所以为在平面内的投影，

故即为直线与平面所成的角，，

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