7.6空间几何体中垂直的判定与性质（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 13 4 1.69MB 17 页 3知币
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7.6 空间几何体中垂直的判定和性质
【题型解读】
【题型一 线面垂直的判定】
1.（2022·陕西安康·高三期末）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，平面 ABCD⊥平面
PAB，E，F分别是线段 AD，PB 的中点， .证明：
(1) 平面 PDC；
(2)PB⊥平面 DEF.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PC 的中点 M，连接 DM，MF.
∵M，F分别是 PC，PB 的中点，
∴ ， .
∵E为DA 的中点，四边形 ABCD 为正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 DEFM 为平行四边形.
∴ ，
∵ 平面 PDC， 平面 PDC.
∴ 平面 PDC.
(2) ∵四边形 ABCD 为正方形，∴ .
又平面 ABCD⊥平面 PAB，平面 平面 ， 平面 ABCD，
∴ AD⊥平面 PAB.
∵ 平面 PAB，∴ .
连接 AF，∵ ，F为PB 中点，∴ .
又 ，AD， 平面 DEF，
∴ PB⊥平面 DEF.
2.（2022·江苏南通市高三模拟）在平行四边形 中 过 点作 的垂线交 的延长
线于点 ， .连接 交 于点 ，如图 1，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置.如
图2.证明：直线 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：图 1中，在 中， 所以 .所以
也是直角三角形，
，
在图 2中， 所以 平面 .
3. （2022·陕西高三模拟）如图，在直三棱柱 中， 为 的中
点，证明： 平面
【答案】证明见解析
【解析】∵ 为 的中点，∴ ，
∵直三棱柱 中，面 面 ， 面 ，面 面 ，
∴ 面 ，又 面 ，即 ，
由题设易知： ，故 ，又 ，
∴ ，则 ，又 ，∴ 平面 .
4. （2022·海原县高三模拟）如图，在三棱台 中，
侧棱 平面 点 在棱 上，证明： 平面
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