7.6空间几何体中垂直的判定与性质（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 12 4 1.04MB 11 页 3知币
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7.6 空间几何体中垂直的判定和性质
【题型解读】
【知识必备】
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线 l与平面 α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l与平面 α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定
定理
如果一条直线与一个平面内的
两条相交直线垂直，那么该直
线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线
平行 ⇒a∥b
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定
定理
如果一个平面过另一个平面的
垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β
性质
定理
两个平面垂直，如果一个平面
内有一直线垂直于这两个平面
的交线，那么这条直线与另一
个平面垂直
⇒l⊥α
知识拓展
1．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
【题型精讲】
【题型一 线面垂直的判定】
技巧方法 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平
行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
例1 （2022·陕西安康·高三期末）如图，四棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ， ，求证： 平面
例2 （2022·江苏南通市高三模拟）如图①，在菱形 中， 且 ， 为 的中点．
将 沿 折起使 ，得到如图②所示的四棱锥 ，求证： 平面
【跟踪精练】
1. （2022·陕西高三模拟）如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点， 为
的中点，且 ， ， ．证明： 平面
2. （2022·海原县高三模拟）在直四棱柱 中，底面 ABCD 为平行四边形，
，点 M在棱 上，点 N是BC 的中点，且满足 ，证明：
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