7.4空间几何体的最值、范围问题（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）
7.4 空间几何体的最值、范围问题
【题型解读】
【题型精讲】
【题型一 切接中的最值、范围问题】
1.（2022·陕西安康·高三期末）已知三棱锥 的四个顶点在以 为直径的球面上， ，
于 ， ，若三棱锥 的体积的最大值为 ，则该球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：三棱锥 的四个顶点在以 为直径的球面上，
如图所示：
由于： 为球体的球心，
所以： ，
由于 ， 于 ， ，
为 的中点，
所以 平面 ，
则 ，
．
故： ，
由于 ．
所以： ，解得 ．
所以 ．
故选： ．
2. （2022·陕西高三模拟）若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的
体积为 9，当其外接球表面积最小时，它的高为
A．3 B．C．D．
【答案】A
【解析】解：设底面边长 ，棱锥的高 ，
，
，
正四棱锥内接于球 ，
在直线 上，设球 半径为 ，
（1）若 在线段 上，如图一，则 ，
（2）若 在在线段 的延长线上，如图二，则 ，
平面 ，
是直角三角形，
，
， ，
，或
，
即 ．
当且仅当 取等号，
即 时 取得最小值 ．
故选： ．
3. （2022·海原县高三模拟）已知底面是正方形的长方体 的底面边长 ，侧棱长
，它的外接球的球心为 ，点 是 的中点，点 是球 上任意一点，有以下判断：
①长的最大值是 9；
②三棱锥 体积最大值是 ；
③存在过点 的平面，截球 的截面面积是 ；
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