7.4空间几何体的最值、范围问题（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）
7.4 空间几何体的最值、范围问题
【题型解读】
【题型精讲】
【题型一 切接中的最值、范围问题】
例1 （2022·陕西安康·高三期末）已知三棱锥 的四个顶点均在同一个球面上，底面 满足
， ，若该三棱锥体积的最大值为 ，则其外接球的半径为
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】如图所示，由 ， ，
可得 ， ，
， ．
设 的外接圆 的半径为 ， ， ．
当 平面 时，该三棱锥取得体积的最大值为
由 ．
解得 ．
所以 ，
解得 ．
故选： ．
【跟踪精练】
1. （2022·陕西高三模拟）已知在半径为 2的球面上有 、 、 、 四点，若 ，则四面体
的体积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】过 作平面 ，使 平面 ，交 于 ，设点 到 的距离为 ，
则有 ，
当直径通过 与 的中点连线时， ，故 ．
故选： ．
2. （2022·海原县高三模拟）已知球的直径 ， ， 是该球面上的两点， ，
则三棱锥 的体积最大值是
A．2 B．C．4 D．
【答案】A
【解析】如图， 球的直径 ， ， 是该球面上的两点， ，
， ， （其中 为点 到底面 的距离），
故当 最大时， 的体积最大，
即当面 面 时， 最大，
球的直径 ， ， ，
，
，即 ，
此时 ．
故选： ．
【题型二 截面中的最值、范围问题】
例2 （2022·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ，
于 ， 于 ，若 ， ，则当 的面积最大时， 的值为
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