7.3空间几何体截面、轨迹问题（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 19 4 3.48MB 26 页 3知币
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7.3 空间几何体截面、轨迹问题
【题型解读】
【题型一 截面形状判断】
1.（2022·陕西安康·高三期末）已知正四面体 及其内切球 ，经过该四面体的棱 及底面 上
的高 作截面，交 于点 ，则截面图形正确的是 　　
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】画出图形，如图所示；
正四面体 及其内切球 ，经过该四面体的棱 及底面 上的高 作截面，交 于点 ，
则截面 所表示的图形是：
故选： ．
2.（2022·海原县高三模拟）如图，正方体 的棱长为 1， ， 分别为棱 ， 上的
点，下列说法正确的是　　．（填上所有正确命题的序号）
①平面 ；
②在平面 内总存在与平面 平行的直线；
③△ 在侧面 上的正投影是面积为定值的三角形；
④当 ， 为中点时，平面 截该正方体所得的截面图形是五边形．
【答案】②③④
【解析】对于①平面 ，不一定成立，因为 平面 ，而两个平面 与面 不一
定平行．
对于②在平面 内总存在与平面 平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交
线一定平行于另一个平面，此结论正确；
对于③△ 在侧面 上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三
角形的一边是棱 ，而 点在面上的投影到此棱 的距离是定值，故正确；
对于④，当 ， 为中点时平面 截该正方体所得的截面图形是五边形 ，
故答案为：②③④
【题型二 截面面积求解】
1.（2022·山西·太原五中高一阶段练习）如图，直线 平面 ，垂足为 ，正四面体 的棱长为 4，
在平面 内， 是直线 上的动点，则当 到 的距离为最大时，正四面体在平面 上的射影面积为
　　
A．B．C．4 D．
【答案】A
【解析】由题意，直线 与动点 的空间关系：点 是以 为直径的球面上的点，所以 到 的距
离为四面体上以 为直径的球面上的点到 的距离，最大距离为 到球心的距离（即 与 的公
垂线） 半径 ．
再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到 垂直平面 ，且平行平面 ，故其投影
是 以 为 底 ， 到 的 距 离 投 影 ， 即 为 高 的 等 腰 三 角 形 ， 其 面 积
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