贵州省贵阳市2019届高三上学期期末监测考试数学（理）答案
高三数学（理科）参考答案与评分建议 第1页，总 6页
贵阳市普通高中 2019届高三年级第一学期期末监测考试
高三数学（理科）参考答案与评分建议
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
D
C
A
A
D
C
D
C
A
B
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。
13、
1
6
14、
32−
15、
1
3
，
3
16、
1
三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分。解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤。
17.（本题满分12分）
解：（1）在
ABC
中,
2 2 2
sin sin sin sin sinA B C A B+ = +
，
由正弦定理得
2 2 2
a b c ab+ − =
两边都除以
2ab
,得
2 2 2 1
cos 22
a b c
Cab
+−
==
，
又因为
0C
，
所以
3
C
=
；. ………………………6分
(2)由余弦定理得
2 2 2 2 2
2 cos 2
3
c a b ab a b ab ab ab ab
= + − = + − − =≥
因为
2c=
,所以
4ab≤
,当且仅当
ab=
时取等号，
所以
13
sin 3
24
ABC
S ab C ab
==≤
，
所以
ABC
面积的最大值为
3
.. ………………………12 分
18. （本题满分12分）
（1）证明：∵四边形
ABCD
为正方形，
∴
AD AB⊥
，
又∵
AD AE⊥
，即
AD PA⊥
，且
PA AB A=
，
贵阳市教育局
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∴
AD ⊥
平面
PAB
，
又∵
AD
平面
ABCD
，
∴平面
PAB ⊥
平面
ABCD
；. ………………………6分
（2）解：如图，
PAB
为正三角形，
CD
中点为
M
，以
AB
中点
O
为坐标原点，
OB
为
x
轴，
OM
为
y
轴，
OP
为
z
轴，建立空间直角坐标系，
又∵
1AE BF AB= = =
，
∴各点坐标分别为
1 1 1 3
( ,0,0), ( ,1,0), ( ,1,0), (0,0, )
2 2 2 2
B C D P−
，
∴
1 3 1 3
( ,0, ), ( ,1, ), ( 1,0,0)
2 2 2 2
PB PC CD= − = − = −
，
设
=( , , )x y zn
是平面
PCD
的一个法向量，
则
0
0
PC
CD
=
=
n
n
，所以
13
0
22
0 0 0
x y z
x y z
+ − =
− + + =
，
令
1z=
得
3
0, 2
xy==
，
即
3
=(0, 1)
2，n
，
7
| | = 2
n
，
∴
21
sin | | 7
| | | |
PB
PB
==
n
n
，
∴直线
PB
与平面
PCD
的所成角的正弦值为
21
7
．. ………………………12 分
19. （本题满分12分）
解:（1）由频数分布表可知,对外卖
A
服务质量评价较高的频率为
300+400 7
=
1000 10
,
将频率作为概率,则从该市使用过外卖
A
的市民中抽取
1
人,对外卖
A
服务质量评价较高的
概率
7
10
P=
，
显然
7
(5, )
10
XB
，
M
O
C
D
A
B
P
x
y
z
贵阳市教育局
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故
5 7 7
( ) 5 10 2
E X P
= = =
. ………………………6分
（2）记外卖
A
的“服务质量指标”为事件
i
A
,外卖
B
的“服务质量指标”为事件
i
B
,
则其评分中外卖
A
的“服务质量指标”与外卖
B
的“服务质量指标”的差的绝对值等于
2
的概率为
2 0 3 1 0 2 1 3 2 0 3 1 0 2 1 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B A B A B A B P A B P A B P A B P A B+ + + = + + +
=0.4 0.2 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.3 0.24 + + + =
. ………………………12 分
20. （本题满分12分）
解：(1)由
12
0MF MF=
,得
bc=
，
令
xc=
,代入
22
22
1
xy
ab
+=
，得
2
b
ya
=
，
因为
| | 2AB =
,所以
2
22
b
a=
，
又因为
2 2 2
a b c=+
，所以
2, 1ab==
，
故椭圆
C
的方程为
221
2
xy+=
；. ………………………6分
(2)由椭圆
C
的方程
221
2
xy+=
与点
(2, 1)−
，设直线𝑙的方程为
1 ( 2)y k x+ = −
，即
21y kx k= − −
，
将
21y kx k= − −
代入
221
2
xy+=
中，得
2 2 2
(1 2 ) 4 (2 1) 8 8 0k x k k x k k+ − + + + =
，
由题意知
= 16 ( 2) 0kk − +
，得
20k−
，
设
1 1 2 2
( , ), ( , )G x y H x y
，
2
1 2 1 2
22
4 (2 1) 8 8
,
1 2 1 2
k k k k
x x x x
kk
++
+ = =
++
，
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