北京市海淀区2022届高三上学期期末考数学试题参考答案

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海淀区 2021~2022 学年第一学期期末练习
高三数学参考答案 2022.01
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
题号 （1） （2） （3） （4） （5）
（6
）
（7） （8） （9） （10）
答案 C D C A C B C B B B
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
题号 （11） （12） （13） （14） （15）
答案 ，
或
或其它
①②③
三、解答题共 6小题，共 85 分。
（16）（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）由 ,可得
因为 为三角形内角，所以 .
（Ⅱ）选择条件②③.
由（Ⅰ）知 为锐角， 又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 的面积为 .
说明：最后两步也可以如下计算：
由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 的面积为 .
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）证法 1：
因 为 长 方 体 中 ， 平 面
∥ 平 面 ， 平 面 平 面
， 平面 平面 ，
所以 ∥ .
证法 2：
因为长方体 中，平面 ∥平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 =，
所以 ∥ .
（Ⅱ）因为 ， ， 两两垂直，
所以以点 为坐标原点， ， ，
所
在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直
角
坐标系如图所示： ---------------5
分
则 ， ， ， ，
， ，
F
E
D
D
1
A
1
1
B
C
A
B
1
F
E
D
D
1
A
1
C
1
B
1
A
C
B
x
y
z
平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
所以 .
又因为二面角 为锐角，
所以，二面角 的余弦值为 .
设点 到平面 的距离为 ，
则.
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）法 1：设甲在首轮比赛中正确完成的题数为 ，易知 ，
所以
.
法2：.
（Ⅱ）由题意得 的取值范围是 ．
， ， ，
所以 的分布列为
123
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