2022年全国高中数学联赛预赛-北京邀请赛（高一年级）试题

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全国中学生数学奥林匹克（预赛）北京邀请赛（高一年级）
考试时间：8:30-10:30
一、填空题（每题 8分，一共 8题，一共 64 分）
1. 若方程
22
11
log 2log
22
k x x

   
− = +
   

   

仅有一个实根,则满足条件的
k
的最大值
等于 .
2. 设
ABC
的三个内角分别为
,,A B C
，假 设
( )
2
sin cos sin cos sin cosA B B C C A++
的最大值为
,将
写成最简分数后分子分母之和为 .
3. 已知函数
:f R R→
,使得任取实数
都有
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
f xy f xz f x f yz+ −
,
则
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 2022 2022f f f + + + =
 
 
.（其中
 
x
表示不大于
x
的最大整数）.
4. 有 组整数
( )
,mn
满足
22
11 8 88m mn n− − =
.
5. 已知
是3个大于等于 1的实数，那么
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1x y y y z z z x x
xy yz xz

− + − + − +

++


最小值写成最简分数后分子分母之和是 .
6.
ABC
中,
90 , 20AB  =
,作
AD AB⊥
交
BC
于
D
.已知
1, 4AB CD==
,设
S
为
ABC
的面积,则
2
S
写成最简分数之后，分子分母之和为 .
7. 满足
4 3 2 2
2 5 7 5 3 7 5 17 0x x x x x x− − − + + + + =
的所有正实数
x
的整数部分
之和是 .
8. 方程
2
1 1 1 4
3x y z
+ + =
有 组整数解.
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