上海市松江区2021届高三下学期4月模拟考质量监控（二模）数学试卷 含解析

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松江区 2020 学年度第二学期模拟考质量监控试卷
高三数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 2021.4
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择
题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写
结果，第 1～6题每个空格填对得 4分，第 7～12 题每个空格填对得 5分，否则一律得零
分．
1. 已知集合 则 ．
2. 若复数 满足 （ 为虚数单位 则 ．
3. 已知向量 ，若 ，则实数 ．
4. 在 的二项展开式中， 项的系数为 ．（结果用数值表示）
5. 如图所示，在平行六面体 中，
，若 ，
则 ．
6. 若 函 数 的 反 函 数 的 图 像 经 过 点
，则 ．
7. 已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为
．
8. 因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从 5名男医生和 4名女医生中选派 3人前 往
隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有 1 名女医生的概率为 ．
9. 已知函数 的图像关于点 对称，且 则实数 的值为
．
10. 如图，已知 是边长为 1 的正六边形的一条边，点 在正六边形内
(含边界), 则 的取值范围是 ．
11. 已知曲线 : , 若对于曲线 上的任意一点 都有
则 的最小值为 ．
12. 在数列 中， 记 为数列 的前 项
和，则 ．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．
13. 经过点 ，且方向向量为 的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
14. 设 表示两个不同的平面， 表示一条直线，且 则 是 的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
15. 已知实数 、 满足 ,有结论:
①存在 ，使得 取到最小值；
②存在 ，使得 取到最小值. 正确的判断是（ )
A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②不成立
C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②成立
16.已知函数 若存在相异的实数 使得 成
立，则实数 的取值范围为（ )
A. B. C. D.
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分．
如图,是圆雉的顶点, 是底面圆的圆心,是底面圆的两条直径，且 ,
为 的中点.
（1）求异面直线 与 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示);
（2）求点 到平面 的距离.
18．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分．
已知函数 为常数， .
（1）讨论函数 的奇偶性;
（2）当 为偶函数时，若方程 在 上有实根，求实数 的取
值范围。
19．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地 分隔成三部分建
成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花. 已知扇形的半径为 100 米，圆心角为 ,
点 在扇形的弧上，点 在 OB 上，且
（1）当 是 的中点时，求 的长; (精确到米)
（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为 30 元/平方米、50 元/平方米、20 元/平
方 米. 要使郁金香种植区 的面积尽可能的大，求 面积的最大值，并求此时扇形
区域种植花卉的总成本. (精确到元)
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