上海市实验学校2021届高三下学期开学考数学试题 含答案

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上海实验学校高三开学考数学试卷
2021.02
一、填空题
1. 函数 的定义域是_________.
2. 已知复数 （ 为虚数单位），复数 满足 ，则 __________.
3. 某班从 4 位男生和 3 位女生志愿者选出 4 人参加校运会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又
有女生的概率的是__________.（结果用最简分数表示）
4. 已知 ，则 的取值范围是_________.
5. 已知两变量 、 之间的关系为 ，则以 为自变量的函数 的最小值是_________.
6. 如图，直三棱柱的主视图是边长为 2 的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积
为___________.
7. 若函数 在区间 上的零点个数为 个，则实数 的取值范围是_________.
8. 已知 ､与､是4个不同的实数，若关于 的方程 的解集
不是无限集，则集合 中元素的个数构成的集合为___________.
9. 设点 、 均在双曲线 ： 上运动， 、 是双曲线 的左、右焦点，则
的最小值为________.
10. 已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量 在满足 ，
均能使 成立 ，则 的最小值是_________.
11. 已知函数 ，若函数 的所有零点依次记
为 且 ， ，若
，则 __________.
12. 对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最大值，若有且仅有一个正数 使得
成立，则实数 的取值范围是_________.
二、选择题
13. 关于 、 的二元一次方程组 的增广矩阵为（ ）
A. B. C. D.
14. 已知集合 M
、
P都是非空集合，若命题“M 中的元素都是 P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题
的是（ ）
A. B. M中至多有一个元素不属于 P
C. P中有不属于 M的元素 D. M中有不属于 P的元素
15. 无穷等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ 为
递增数列”的（ ）
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
16. 单调递增的数列 中共有 项，且对任意 ， 和 中至
少有一个是 中的项，则 的最大值为（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
三、解答题
17. 将边长为
的
正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长
为 ，其中 与 在平面 的同侧.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求异面直线 与 所成
的
角的大小.
18. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积．
19. 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ，
的
长分别为 和 ，上部是
圆心为 的劣弧 ， ．
（1）求图 1中拱门最高点到地面的距离；
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