上海市实验学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷含解析【精准解析】

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2020-2021 学年上海市实验学校高一（下）期末数学试卷
一、填空题（共 10 小题）.
1．已知复数 z满足（ ﹣2）i＝1（i是虚数单位），则 z＝　
　 ．
2．已知等差数列{an}，其中 a1＝ ，a2+a5＝4，an＝33，则 n的值为　
　 ．
3．已知 α∈（0，π），且有 1﹣2sin2α＝cos2α，则 cosα＝　
　 ．
4．在复平面上复数﹣1+i，0，3+2i所对应的点分别是 A，B，C，则平行四边形 ABCD 的对
角线 BD 的长为 　
　 ．
5．若复数 z满足|z﹣4+7i|≤2，则|z﹣10﹣i|的最大值为 　
　 ．
6．若向量 ＝（x，2x）， ＝（﹣3x，2），且 、 的夹角为钝角，则 x的取值范围是
．
7．数列{an}的前 n项和 Sn＝3+2n，则其通项公式 an＝　
　 ．
8．在△ABC 中，AB＝1，AC＝2， ，则 ＝　
　 ．
9．已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是 R上的偶函数，图象关于点
M（π，0）对称，在[0，]是单调函数，则符合条件的数组（ω，φ）有　
　 对．
10．若 a、b分别是正数 p、q的算术平均数和几何平均数，且 a、b、﹣2这三个数可适当
排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q+pq 的值形成的集合是　
　 ．
二、选择题
11．设复数 z满足 ＝i，则|1+z|＝（　　）
A．0 B．1 C．D．2
12．在△ABC 中，若 • +＝0，则△ABC 的形状一定是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
13．已知| |＝2| |≠0，且关于 x的方程 x2+| |x+• ＝0有实根，则 与 的夹角的取值范
围是（　　）
A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]
14．设 a∈R，函数 f（x）＝cosx+cosax，下列三个命题：
①函数 f（x）＝cosx+cosax 是偶函数；
②存在无数个有理数 a，函数 f（x）的最大值为 2；
③当a为无理数时，函数 f（x）＝cosx+cosax 是周期函数，以上命题正确的个数为（
）
A．3 B．2 C．1 D．0
三、解答题
15．已知复数 z＝a+bi（其中 a、b∈R），存在实数 t，使 ＝ ﹣3ati 成立．
（1）求证：2a+b＝6；
（2）求|z|的取值范围．
16．设 、 是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）记 ＝ ， ＝t， ＝ （ +），那么当实数 t为何值时，A，B，C三点共
线？
（2）若| |＝| |＝1且 与 夹角为 120°，那么实数 x为何值时，| +x|的值最小？
17．已知等比数列{an}的公比 q≠1，a1＝32，且 2a2、3a3、4a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 bn＝log2an，求数列{|bn|}的前 n项和 Tn．
18．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔 CD 和EF．小明在只有量角器（可以测
量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距
离）且不渡过 河的条件下， 为了计算塔 CD 的 高度，他在点 A测得 点 D的仰角为
30°，∠CAB＝75°，又选择了相距 100 米的 B点，测得∠ABC＝60°．
（1）请你根据小明的测量数据求出塔 CD 高度；
（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离 DF，在测得∠BAE＝90°
之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：
方案①：测量∠ABF 和∠DAF
方案②：测量∠ABE 和∠EAF
方案③：测量∠ABE 和∠ECF
方案④：测量∠ABF 和∠AFB
请问：小明的备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；
（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶 DF 之间的距离，精确
到 米 ． ∠ ABF ＝58.0° ， ∠ ABE ＝50.2° ， ∠ DAF ＝16.7° ， ∠ EAF ＝41.5° ， ∠ ECF ＝
53.8°，∠AFB＝32.0°．
四.附加题
19．设数列{an}的前 n项和为 Sn，对一切 n∈N*，点（n， ）都在函数 f（x）＝x+的
图象上．
（1） 将数列 {an}依次按 1项、2项、 3项、4项 循环地分为（ a1）、（ a2，a3）、
（a4，a5，a6）、（a7，a8，a9，a10 ）、（a11 ）、（a12 ，a13 ）、（a14 ，a15 ，a16 ）、
（a17，a18，a19，a20）、（a21）、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原
来括号的前后顺序构成新的数列为{bn}，求 b5+b100 的值；
（2）设 An为数列{ }的前 n项积，若不等式 An• ＜f（a）﹣ 对一切
n∈N*都成立，求 a的取值范围．
20．若函数 y＝f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得 f（a+x）•f（a﹣x）＝b恒
成立，则称 y＝f（x）为“Ω函数”，已知函数 f（x）＝tanx是一个“Ω函数”，求出所
有的有序实数对（a，b）．
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