上海市莘庄中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题含答案

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上海市莘庄中学 2020 学年第一学期期末考试
高二数学试卷
（时间：120 分钟 满分 150 分）
2021 年 1 月
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4分，第 7~12 题每题 5分）
1. 抛物线 的焦点到准线的距离是 .
2. 经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线方程是 .
3. 若线性方程组的增广矩阵是 ，且此方程组无解，则实数 = .
4. 已知 =（2，3）， =（-4，7）则向量 在 方向上的投影为 .
5. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，则双
曲线的标准方程是 .
6.设变量 、 满足约束条件 ，则 的最大值为 .
7.在平面直角坐标系 中，直线 （ 为参数）与圆 （ 为参数）
有公共点，则实数 的取值范围为 .
8. 若双曲线 ： 的一条渐近线被圆 所截得的弦
长为 2，则 的值是 .
9. 设焦点为 的椭圆 上的一点 也在抛物线 上，抛物线的
焦点为 ，若 ，则 的面积是 .
10. 设常数 ，在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ，曲线
（ ）， 与 轴交于点 ，与 交于点 ， 、 分别是曲线
与线段 上的动点.若 且 ，则 .
11. 已知点 ，椭圆 ( )上两点 ， 满足 ，则当 =
时，点 横坐标的绝对值最大．
12. 如图，△ 是边长为 1的正三角形，点 在△ 所在的
平面内，且 （ 为常数），满足条件的点
有无数个，则实数 的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分 20 分，每题 5分，共 20 分）
13．平面内有两个定点
1 2
,F F
和一动点
M
，设命题甲： 是定值，命题乙：
点
M
的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知 是双曲线
C
：
2 2
3 ( 0)x my m m 
的一个焦点，则点
F
到
C
的一条渐近线
的距离为 （ ）
A．
3
B．3 C．
D．
3m
15．图中曲线（实线部分）的方程是 （ ）
A.
B.
C.
D.
16．已知抛物线 E： 和直线 在第一象限内的交点为 ．
设 是抛物线 E上的动点，且满足 ，记 ，则 （
）
A. 当 时， 的最小值是
B. 当 时， 的最小值是
C. 当 时， 的最小值是
D. 当 时， 的最小值是
三、解答题（本大题满分 76 分）
17. 已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求 及 .
18. 已知双曲线 （ ），直线 与 交于 、 两点.
（1）若点 是双曲线 的一个焦点，求 的渐近线方程；
（2）若点 的坐标为 ，直线 的斜率等于 1，且 ，
求双曲线 的渐近线方程.
19. 已 知 两 点
)0,2(),0,2( BA
， 过 动 点
P
作
x
轴 的 垂 线 ， 垂 足 为
H
， 且 满 足
2
PHλPBPA
，其中
0λ
．
（1）求动点
),( yxP
的轨迹
C
的方程，并讨论
C
的轨迹形状；
（2）过点
)0,2(A
且斜率为 1的直线交曲线
C
于
NM ,
两点，若
MN
中点横坐标为
3
2
，
求实数
λ
的值.
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