上海市上海中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案

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上海中学 2020 学年第二学期高一年级数学期中考试
2021.04
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格
填对前 6题得 4分、后 6题得 5分，否则一律得零分.
1.角度大小为 7弧度的角是第________象限角
2.用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合________.
3.函数 的定义域是________.
4.若角 的始边落在 轴正半轴，终边落在直线 上，则 ________.
5.已知角 ，且满足： ，则角 为________.
6.已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________.
7.在 中， ， ， ，则 的面积为________.
8.函数 的单调递减区间为________.
9.已知正六边形 ，若 ， ，则 用 ， 表示为________.
10.已知 ，则 ________.
11.已知函数 ， 满足： ，且 时， 则当
时， 的最小值为________.
12.在锐角三角形 中，若 ，则 的最小
值是________.
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.
13.命题 ：“角 小于 ”是命题 ：“角 是第一象限角”的（ ）条件.
A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要
14.若 ， 的化简结果是（ ）.
A. B. C. D.
15.现给出以下 4个命题：
（1）对于任意的向量 ，都有 ；
（2）已知向量 ， ， ，若 且 ，则 ；
（3）已知三个非零向量 ， ， ，则 与 不垂直；
（4）已知向量 ， ，则 是“ ， 中至少有一个是 ”的充要条件.
其中正确的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
16.2021 年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人貝目（如图①），
而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得
到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：
如图②，平面上有两定点 ， ，两动点 ， ，且 ， 绕点 逆时针旋转到 所形
成的角记为 .
设函数 ， ，其中， ，令，作随着 的变
化，就得到了 的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下 4幅图中，点 的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为
（ ）
图①图②
A B C D
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的
步骤.
17.（本题满分 8分）
已知 ， 两个向量， ， ， ，求 在 方向上的投影与数量投影.
18.（本题满分 8分）
已知的数
（1） 有解时，求实数 的取值范围；
（2）当 时，总有 ，求定 的取值范围.
19.（本题满分 10 分）
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长 的取值范围.
20.（本题满分 10 分）
数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段.某中学程老师根据
实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图③所示（各邻边垂直）.一房间的门框宽（即房门两
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