上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷含解析【精准解析】

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2020-2021 学年上海市普陀区曹杨二中高一（下）期末数学试卷

一、填空题（共 12 小题）.

1．已知复数 z＝1﹣i，则 Imz＝　

　．

2．已知复数 z满足，且|z+i|＝1，则 z＝　

　．

3．已知向量＝（2，4），＝（﹣1，1），则 2﹣ ＝　

　．

4．若 cos（θ+）＝1，则 cosθ＝　

　．

5．若向量，，，则＝　

　．

6．已知{an}为等差数列，{an}的前 5项和 S5＝20，a5＝6，则 a10＝　

　．

7．已知{an}为等比数列，首项和公比均为，则{an}前10 项和为　

　．

8．设 O为坐标原点，A（2，0），B（﹣3，4），则向量在上的投影为　

　．

9．已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E，F分别在边 BC，DC 上，BC＝3BE，，

若，则实数 λ的值为　

　．

10．已知数列{an}为等比数列，函数过定点（a1，a2），设 bn＝log2an，数

列{bn}的前 n项和为 Sn，则 Sn的最大值为　

　．

11 ．已知函数，则的值为

．

12．已知函数 f（x）＝sin（π﹣ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若 f（x）在（π，2π）内没有

零点，则 ω的取值范围

是　

　．

二、选择题

13．若复数 z满足（2+i）z＝4，则复数 z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．已知函数 f（x）＝2sin（x+φ），则“ ”是“f（x）为偶函数”的（　　）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

15．已知点 A（，1），B（0，0）C（，0）．设∠BAC 的平分线 AE 与BC 相交于

E，那么有等于（　　）

A．2 B．C．﹣3 D．﹣

16．在△ABC 中，，若 B＜C，m＞0，n＞0，且（m2﹣1）tan2B﹣

2tanB+m2﹣1＝0，sin2C+1＝n2，则（　　）

A．m＜nB．m＞nC．mn＜1 D．mn＞2

三、解答题

17．已知点 A（﹣1，﹣2），B（2，2），C（﹣2，﹣1）．

（1）求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）求△ABC 的面积．

18．已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数 f（x）＝ • ，且 y＝f（x）的

图象过点（，）和点（，﹣2）．

（Ⅰ）求 m，n的值；

（Ⅱ）将 y＝f（x）的图象向左平移 φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数 y＝g（x）的图象．

若y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为 1，求 y＝g（x）的单调

增区间．

19．如图某公园有一块直角三角形 ABC 的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC 长a

千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 DEF 建文化景观区，其中 D、E、F分别在

BC、AC、AB 上．设∠DEC＝θ．

（1）若 θ＝，求△DEF 的边长；

（2）当 θ多大时，△DEF 的边长最小？并求出最小值．

20．已知关于 x的实系数一元二次方程 x2+ax+b＝0（a，b∈R）．

（1）若一根为 1﹣2i，求 a，b的值；

（2）若存在模为 1的虚数根，求 a，b满足的条件；

（3）设 a＝b＝2，z0是虚数根，记 z0，，在复平面上对应点分别为

A，B，C，求的值．

21．若数列{an}满足“对任意正整数 i，j，i≠j，都存在正整数 k，使得 ak＝ai•aj”，则称

{an}具有“性质 P”．

（1）判断各项均等于 a的常数列是否具有“性质 P”，并说明理由；

（2）若公比为 2的无穷等比数列{an}具有“性质 P”，求首项 a1的值；

（3）证明：首项为 2的无穷等差数列{an}具有“性质 P”的充要条件是公差 d＝1或d＝

2．

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