上海市普陀区2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学试题 含答案

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普陀区 2020 学年第二学期高三数学质量调研
2021.4
考生注意:
1.本场考试时间 120 分钟.试卷 4页，满分 150 分，答题纸共 2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上
作答一律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6题每题 4分，第 7～12 题每题 5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设全集 ，若集合 ，则 .
2. 若复数 （ 表示虚数单位），则 .
3. 函数 的零点为 .
4. 曲线 的顶点到其准线的距离为 .
5. 若 ，则 .
6. 设棱长为 的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .
7. 设 ，则 .
8. 设无穷等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则公比 .
9. 设 、 均为非负实数且满足 ，则 的最小值为 .
10. 某学校从 名男生、 名女生中选出 2名担任招生宣讲员，则在这 名宣讲员中男、女生各
人的概率为 （结果用最简分数表示）.
11. 设 是直线 上的动点，若 ，则 的最大值为
.
12. 如图，在△ 中， ， ， . 若 为△
内部的点且满足 ，则 .
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分，每题 5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答
题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设 、 均为非零实数且 ，则下列结论中正确的是（ ）
14. 设 ，则双曲线 的焦点坐标是（ ）
15. 设 是两个不重合的平面， 是两条不重合的直线，则“ ”的一个充分非必要
条件是（ ）
， 且 ， ， ，且
， 且 ， ，且
16. 已知函数 ，设 （ ）为实数，且 .
给出下列结论：
1若 ，则 ；
2若 ，则 .
其中正确的是（ ）
①与②均正确 ①正确，②不正确
①不正确，②正确 ①与②均不正确
（第 12 题）
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的
步骤.
17.（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
如图，设底面半径为 的圆锥的顶点、底面中心依次为 、 ， 为其底面的直径.
点 位于底面圆周上，且 . 异面直线 与 所成角的大小为 .
（1）求此圆锥的体积；
（2）求二面角 的大小（结果用反三角函数值表示）.
18.（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
设函数 （ ）的反函数为 .
（1）解方程： ；
（2）设 是定义在 上且以 为周期的奇函数.当 时， ，试求
的值.
19.（本题满分 14 分，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分）
如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为 （
）， 米， ， 为对角线 和 的交点.他以 、
为圆心分别画圆弧，一段弧与 相交于 、另一段弧与 相交于 ，这两
段弧恰与 均相交于 .设.
（1）若两段圆弧组成“甬路” （宽度忽略不计），求 的长（结果精确到 米）；
（2）记此园地两个扇形面积之和为 ，其余区域的面积为 .对于条件（1）中的 ，当
P
A
B
C
O
（第 17 题）
1
A
2
A
3
A
4
A
D
（第 19 题）
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