上海市浦东新区进才中学2021届高三下学期周考数学试卷02 含答案

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2021 年浦东新区进才中学高三第二学期周考数学试卷 02 2021.03
一. 填空题
1.
2. 函数 的定义域为
3. 已知行列式 ，则实数 的值为
4. 已知 ，若幂函数 是偶函数，且在 上单调递减，则
5. 已知 是公差不为零的等差数列，且 ，则
6. 已知 的展开式中二项式系数最大的项有且仅有含 的项，则 的展开式所有项的系数和等于
7. 在△ 中，已知 ， ，△ 的面积为 12，则边长
8. 已知地球的半径为 6371 千米，上海的位置约为东经 ，北纬 ，台北的位置约为东经 ，北纬
，则这两个城市之间的距离约为 千米（结果精确到 1千米）
9. 若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
10. 已知直线 与 轴和 轴分别交于点 、 ，与椭圆 相交于两点 、 ，且满足
， ，则
11. 设 为实数， 为不超过实数 的最大整数，记 ，若 、 、 构成等差数列，则非零实数
的值为
12. 已知 ，若存在实数 ，使得对任意 都有 ，则 的最小值是
二. 选择题
13. 若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于（ ）
A. 0 B. C. D.
14. 不等式组 表示的平面区域的面积为（ ）
A. 1 B. 4 C. 5 D. 无穷大
15. 已知两个不相等的实数 、 满足以下关系式： ， ，则连接
、 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定
16. 已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时， ，若关于 的方程
（ ）有且仅有 6个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题
17.（1）已知 是关于 的方程 的一个根，求实数 、 的值；
（2）已知方程 的两根为 、 ，若 ，求实数 的值.
18. 如图所示，正方体 的棱长为 2， 、 分别是 、 上的动点，且满足
（ ）.（1）求证： ；
（2）当三棱锥 体积取最大值时，求直线 与平面
所成角的大小（用反三角函数值表示）.
19. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年
底资金增长了 50%，预计以后每年资金增长率与第一年相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金
万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第 年年底企业上缴资金后剩余资金为 万元.
（1）用 表示 、 ，并写出 与 的关系式；
（2）若公司希望经过 （ ）年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 的值.
20. 考虑一个定义域为 的函数 的集合： 对任何不同的两个正数 、 ，都有
.
（1）判断函数 （ ）是否为集合 中的元素，并说明理由；
（2）已知函数 ，判断并证明函数 在 上的单调性.
（3）已知 ， 且 的部分函数值由下表给出：
4
试比较 与 4的大小关系.
21. 定理：已知 是抛物线 （ ）的一条弦， 是 的中点，过点 且平行于 轴的直线与抛
物线的交点为 ，若 、 两点纵坐标之差的绝对值 （其中 ），则△ 的面积
，试运用上述定理求解以下各题：
（1）若 是抛物线 的一条弦， 所在直线的方程为 ， 是 的中点，过 且平行于
轴的直线与抛物线 的交点为 ，求 ；
（2）已知 是抛物线 （ ）的一条弦， 是 的中点，过点 且平行于 轴的直线与抛物线
的交点为 ， 、 分别为 和 的中点，过 、 且平行于 轴的直线与抛物线 （ ）
分别交于点 、 ，若 、 两点纵坐标之差的绝对值 （ ），求 和 ；
（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线 （ ）与弦 围成的“弓形”的面积，
并求出相应面积.
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