上海市浦东新区进才中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】

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2020-2021 学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试
卷
一、填空题（共 12 小题）.
1．半径为 1的球的体积为　
　 ．
2．棱长都是 2的三棱锥的表面积为　
　 ．
3．已知 ＝（3，0，2）， ＝（x，0，4），若 ∥ ，则 x＝　
　 ．
4．二面角 α﹣l﹣β为60°，异面直线 a、b分别垂直于 α、β，则 a与b所成角的大小是
．
5．直线 PA 与平面 ABC 所成角为 ，则直线 PA 与平面 ABC 内的任意一条直线所成角的
取值范围是　
　
6．已知空间四边形 OABC，点 M，N分别为 OA，BC 的中点，且 ，
用 ， ， 表示 ，则 ＝　
　 ．
7．长方体的 12 条棱的总长度为 56m，表面积为 112m2，那么长方体的对角线长为
m．
8．一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是 30°，斜坡上有一道直道，它和
坡脚水平线成 60°角，沿这条直道向上行走 100 米后升高　
　 米．
9．侧棱长为 2的正三棱锥 V﹣ABC 中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点 A作截面
AEF，则截面△AEF 周长的最小值为　
　 ．
10．圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 的扇形，则这个圆锥的高是　
　 ．
11．已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为　
　 ．
12．如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝ ，E，F，G分别为
AB，BC，C1D1的中点．点 P在平面 ABCD 内，若直线 D1P∥平面 EFG，则线段 D1P长
度的最小值是　
　 ・
二、选择题
13．已知 α、β是两个不同平 面， m为α内的 一条直线， 则“ m∥β”是“α∥β”的（
　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．下列四种说法中：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
②相等的线段在直观图中仍然相等；
③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．
正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．已知平面 α∩β＝l，B，C∈l，A∈α 且A∉l，D∈β 且D∉l，则下列叙述错误的是（　　）
A．直线 AD 与BC 是异面直线
B．直线 CD 在α上的射影可能与 AB 平行
C．过 AD 有且只有一个平面与 BC 平行
D．过 AD 有且只有一个平面与 BC 垂直
16．已知棱长为 1的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱 BB1，DD1上的动点，
且BE＝D1F＝λ．设 EF 与AB 所成的角为 α，与 BC 所成的角为 β，则 α+β
的最小值（　　）
A．不存在 B．等于 60° C．等于 90° D．等于 120°
三、解答题
17．正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长 AB＝2，若异面直线 A1A与B1C所成角的大小为
arctan ，求正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积和体积．
18．如图所示，球 O的球心 O在空间直角坐标系 O﹣xyz 的原点，半径为 1，且球 O分别与
x、y、z轴的正半轴交于 A、B、C三点，已知球面上一点 D（0，﹣ ， ）．
（1）求证：CD⊥OA；
（2）求 D、C两点在球 O上的球面距离．
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