上海市南洋中学2021届高三下学期3月月考数学试题 含答案

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南洋中学高三年级数学学科三月学习能力诊断测试题
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、填空题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4分，7-12 题每题 5分，共 54 分）
1．在复平面内，点 ）对应的复数为 z，则 _________．
2．若直线 与 互相垂直，则实数 a的值为_________．
3． 的值是_________．
4．已向量 ，且 在 上的投影为 3，则向量 与 夹角为_________．
5．将一个斜边长为 4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为
_________．
6．若一组数据：21，19，x，20，18 的平均数为 20，则该组数据的方差为_________．
7．将函数 的图象向左平移 个单位后得到的函数图象关于点 成中心对称，那么
的最小值为_________．
8．在 的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 x项的系数等于_________．
9，现有 4名学生 A，B，C，D申报清华、北大的 2020 年强基计划招生，每校有两人申报，则“A，B两人
恰好申报同一所大学”的概率为_________．
10．已知函数 的值域是 ，当 时，实数 m的取值
范围是_________．
11．在平面直角坐标系 中，点 M不与原点 O重合，称射线 与 的交点 N为点 M的
“中心投影点”，曲线 所有点的“中心投影点“构成的曲线长度是_________．
12．已知函数 ，若方程 恰有 5个不同的实数根，则实数 a的取值范围
是_________．
二、选择题（本大题共 4题，每题 5分，共 20 分
13．设 且 ，“z是纯虚数”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．即非充分又非必要条件
14．某高级中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体 800 名学生中抽取 50 名学生牙齿健康检查，现将
800 名学生从 1到800 进行编号，求得间隔数 ．16 即每人抽取 1人，在 1到16 中随机抽取 1
个数，如果抽到的是 7，则从 33 到48 这16 个数中应抽取的数是（ ）
A．37 B．46 C．42
15．如图，已知点 ，且正方形 内接于 ，M，N分别为边 ， 的中点，
当正方形 绕圆心 O旋转时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．设函数 ，则以下说法中正确的是（ ）
① ； ② ；
③ 的图像存在对称轴； ④ 的图像存在对称中心；
A．①②④ B．①②③ C．①④ D．②③④
三、解答题（本大题共 5题，共 76 分）
17．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分，
如图，四棱 锥 的底是正 方 形 ， 平 面 ，点 E是 上 的 点 ， 且
．
（1）求证：对任意的 ，都有 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求 的值．
18．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
如图，在郊野公园的景观河的两岸， 、 是夹角为 的两条岸边步道（长度均超过 千米），
为方便市民观光游览，现准备在河道拐角处的另一侧建造一个观景台P，在两条步道 、 上分别设
立游客上下点 M、N，从 M、N到观景台P建造两条游船观光线路、 ，测得 千米．
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