陕西省西安中学2021届高三第四次模拟考试数学（文）试题 含答案
西安中学高 2021 届高三第四次模拟考试
文科数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 设全集
Q=
{
x
|
2x2−5x ≤ 0, x ∈N
}
，且
P⊆Q
，则满足条件的集合 P的个数是
()
A. 3B. 4C. 7D. 8
2. 设i是虚数单位，若复数
a − 10
3−i (a∈R)
是纯虚数，则 a的值为
¿
¿
A.
−3
B.
−1
C. 1D. 3
3. 命题“
∃x0∈(1,+∞)
，
2x0−1=x0
2
”的否定是
()
A.
∃x0∉(1,+∞)
，
2x0−1=x0
2
B.
∃x0∉(1,+∞)
，
2x0−1≠ x0
2
C.
∀x∈(1,+∞)
，
2x−1≠ x2
D.
∀x∉(1,+∞)
，
2x−1=x2
4. 非零向量
a
⃗
, b
⃗
满足
¿b
⃗
∨¿4,∨a
⃗
∨¿2
且
b
⃗
与
a
⃗
夹角为
θ
，则“
¿b
⃗
− a
⃗
∨¿2❑
√
3
”是“
θ=π
3
”的
()
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设直线
y=x+2a
与圆 C：
x2+y2−2ay −2=0
相交于 A，B两点，若
|
AB
|
=2❑
√
3
，则圆 C的面
积为
()
A.
4π
B.
3π
C.
π
D.
2π
6. 记
Sn
为等比数列
{an}
的前 n项和．若
a5− a3=12
，
a6− a4=24
，则
Sn
an
=()
A.
2n−1
B.
2−21−n
C.
2−2n −1
D.
21−n −1
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
()
A.
16+2π
B.
16+4π
C.
24+2π
D.
24+4π
8. 已知函数 ，若
a=f(3❑
√
2)
，
b=f(2)
，
c=f(log27)
，则 a，b，c的大小关系
是
()
A.
a<b<c
B.
c<a<b
C.
b<a<c
D.
b<c<a
9. 函数
y=2x+2− x
2x−2− x
的图象大致为
()
A. B. C. D.
10. 勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛
(1829 −1905)
首先发现，所以以他的
名字命名
.
其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为
半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是
勒洛三角形
.
现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边
三角形内部的概率为
¿
¿
A.
2π − 3❑
√
3
2(π −❑
√
3)
B.
❑
√
3
2(π −❑
√
3)
C.
❑
√
3
2(π+❑
√
3)
D.
2π −3❑
√
3
2(π+❑
√
3)
11. 已知双曲线
x2
a2−y2
b2=1(a>0, b>0)
与函数
y=❑
√
x(x ≥ 0)
的图象交于点 P，若函数
y=❑
√
x
的图
象在点 P处的切线过双曲线左焦点
F(−4,0)
，则双曲线的离心率是
¿
¿
A.
❑
√
17+1
4
B.
❑
√
17+2
4
C.
❑
√
17+3
4
D.
❑
√
17+4
4
12. 已知函数
f(x)=¿lnx∨¿
，
g(x)=
{
0❑,0<x≤ 1❑,
¿x2−4∨−2❑, x >1❑
若关于 x的方程
f(x)+m=g(x)
恰有
三个不相等的实数解，则 m的取值范围是
()
A.
[0,ln 2]
B.
¿
C.
¿
D.
¿
二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0 分）
13. 函数
f
(
x
)
=
(
x −3
)
ex
的单调增区间是________．
14. 已知向量
a
⃗
=(2, sinθ)
，
b
⃗
=(1, cosθ)
，若
a
⃗
/¿b
⃗
，则
si n2θ
1+co s2θ
的值为______．
15. 某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动．他们第一天得到 15 元，从第二
天起，每一天收到的捐款数都比前一天多 10 元．要募捐到不少于 1100 元，这次募捐活动至少
需要_____天．
¿
结果取整数
¿
16. 已知三棱锥
P − ABC
中，
PA=1
，
PB=❑
√
7
，
AB=2❑
√
2
，
CA=CB=❑
√
5
，平面
PBA ⊥
平面
ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为______．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17. 设
△ABC
的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，
a=btanA
，且 B为钝角．
¿
Ⅰ
¿
证明：
B− A=π
2
；
¿
Ⅱ
¿
求
sinA+sinC
的取值范围．
18. 如图，直四棱柱
ABCD− A1B1C1D1
的底面是菱形，
A A1=4
，
AB=2
，
∠BAD=60 °
，E，M，N分别是 BC，
B B1
，
A1D
的中点．
(1)
证明：
MN /¿
平面
C1DE
；
(2)
求点 C到平面
C1DE
的距离．
19. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果，其质量分别在
¿
，
¿
，
¿
，
¿
，
¿
，
¿¿
单位：克
¿
中，经统计得频率分布直方图如图所示．
(1)
经计算估计这组数据的中位数；
(2)
现按分层抽样从质量为
¿
，
¿
的芒果 中随
机抽取6个，再从这 6个中随机抽取3个，
求这 3个芒果中恰有 1个在
¿
内的概率．
(3)
某经销商来收购芒果，以各组数据 的中
间数代表这组数据的平均值，用样本估 计总
体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000 个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以 10 元
¿
千克收购；
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