陕西省西安市西工大附中2022届高三上学期第四次适应性训练数学（理）试题含答案
2022 年全国普通高等学校招生统一考试第四次适应性训练
理科数学
一．选择题（12×5=60 分）
1.已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
2．若复数
2
21
z i i
，其中
i
是虚数单位，则复数
z
的模为（ ）
A.
2
B.
2
2
C.
3
D.2
3.下列命题中错误的是( )
A．如果 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
B．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， ，那么 ⊥平面
D．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面
4.下列四个命题中,正确的有( )
① 随机变量 服从正态分布 ,则
②
③ 命题 的否定是
④ 复数 ,若 则
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
5．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏
者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角 、 间的圆弧长为 ，嘴角
间的距离为 ，圆弧所对的圆心角为 （ 为弧度角），则 、 和 所满足的恒等关系
为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数 满足不等式组 则 的最大值为( )
A.16 B.12 C.5 D.3
7．如图，矩形 内的阴影部分是由曲线
及直线 与 轴围成，向矩
形 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为 ，则 的值
是（ ）
A. B. C. D.
8.已知 为平面向量，若 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，则 （
）
A. B. C. D.
9．已知 中， ，则该三角形的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
10．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，
且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确
的概率是( )
A. B. C. D.
11.正四面体 的棱长为 4， 为棱 的中点，过 作此正四面体的外接球的截
面，则该截面面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知点 ，曲线 ，直线 与曲线 交
于 两点，若 周长的最小值为 2，则 的值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
二．填空题(4×5=20 分)
13.设 ，若 ，则 的最大值为 .
14.二项式
5
22
ax x
的展开式中常数项为
160
，则
a
的值为 .
15.双曲线
2 2
2 2
: 1( 0, 0)
x y
C a b
a b
的左、右焦点分别为
1
( 2,0)F
、
2
(2,0)F
，
M
是
C
右支
上的一点，
1
MF
与
y
轴交于点
P
，
2
MPF
的内切圆在边
2
PF
上的切点为
Q
，若
| | 2PQ
，
则
C
的离心率为 ．
16.将正整数排成下图所示的数阵，其中第 行有 个数，
如果 2 021 是表中第 行的第 个数，则 .
三．解答题（5×12+10=70 分）
（一）必考题：共 60 分
17．（本题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 .
（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，
①,②,③
（2）在（1）的条件下，若 ，数列 的前 项和为 ，
求证： .
18.（本题满分 12 分）如图，已知
AB BC
，
BE CD∥
，
90DCB
，平面
BCDE
平面
ABC
，
2AB BC BE
，
4CD
，
F
为
AD
中点．
（1）证明：
EF
平面
ACD
；
（2）求直线
CE
与平面
ABD
所成角的正切值．
19．（本题满分 12 分）少数民族文化作为中华文化的重要组成部分，是社会主义文化建设
的重要内容.长期以来，连江县将保护畲族文化作为民族工作的一项重要工作，每年农历三
月三，连江县小沧乡都会举行畲族文化节，畲族青年男女喜欢跳起欢快的竹竿舞.跳竹竿舞，
不但是一种文娱活动，而且能强身健体.现有 的竹竿各 3根､2根､2根，从中
随机取出3根.
（1）求所取 3根竹竿中恰有2根长度相同的概率；
（2） 表示所取 3根竹竿中长度的中位数，求 的分布列和数学期望.
20.（本题满分 12 分）已知点 ，点 是圆 上的任意一点，
线段的垂直平分线与直线 交于点 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
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